Leçon 150 — Dimension d'un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications.

Points clés

• Théorème de la base incomplète
• Rang d'une application linéaire
• Rang d'une matrice
• Formule du rang
• Hyperplans

Plan

1. Familles libres, génératrices, bases
   • Famille libre, famille génératrice, base
   • Théorème de la base incomplète
   • Théorème de la base extraite
2. Existence de bases et dimension
   • Unicité du cardinal d'une base : la dimension
   • Toute famille libre dans un espace de dim [formule] a [formule] éléments
   • Caractérisation des bases en dimension finie
3. Rang d'une application linéaire
   • [formule]
   • Théorème du rang : [formule]
   • Rang d'une matrice : rang des colonnes = rang des lignes
4. Formules de dimension
   • Formule de Grassmann : [formule]
   • Somme directe : [formule] ssi [formule] et [formule]
   • Existence de supplémentaires en dimension finie
5. Hyperplans
   • Hyperplan : noyau d'une forme linéaire non nulle, codimension [formule]
   • Tout sous-espace est intersection d'hyperplans
   • Dualité
6. Applications
   • Rang d'une matrice : calcul par pivot de Gauss
   • Dimension de l'espace des solutions d'un système homogène
   • Dimension de sous-espaces de [formule]

Théorèmes clés

• Théorème du rang : [formule]
• Théorème de la base incomplète : toute famille libre peut être complétée en une base
• Formule de Grassmann : [formule]
• Caractérisation en dimension [formule] : libre de [formule] vecteurs = base = génératrice de [formule] vecteurs

Exemples importants

• [formule], [formule], [formule]
• [formule]
• Rang d'une matrice : nombre de pivots dans la forme échelonnée
• Espace des solutions de [formule] : dimension [formule]

Erreurs courantes

• Confondre dimension et nombre de vecteurs d'une famille génératrice
• Oublier que la base incomplète est spécifique à la dimension finie
• Écrire [formule] sans vérifier [formule]

Conseils du jury

• Le théorème du rang est fondamental : savoir l'appliquer partout
• Connaître la dimension des sous-espaces classiques de [formule]
• Le jury apprécie deux méthodes pour le rang : pivot et mineurs

Développements associés

• Rang d'une matrice et applications
• Théorème de la base incomplète
• Formules de Cramer
• Dualité dans les espaces vectoriels
• Équivalence des normes en dimension finie
• Formule de dimension pour les sous-espaces affines
• Pivot de Gauss
• Interpolation de Lagrange
• Wronskien et indépendance linéaire

Prérequis

espaces vectoriels