Leçon 108 — Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.

Points clés

• Générateurs d'un groupe
• Groupe monogène, cyclique
• Générateurs de [formule], [formule]
• Cayley et graphes de Cayley
• Présentations de groupes

Plan

1. Parties génératrices : définitions
   • Partie génératrice : [formule], plus petit sous-groupe contenant [formule]
   • Groupe monogène : engendré par un seul élément
   • Rang d'un groupe : cardinal minimal d'une partie génératrice
2. Générateurs des groupes cycliques et abéliens finis
   • [formule] est engendré par [formule] ssi [formule]
   • Générateurs de [formule] : [formule] ou [formule]
   • Groupes abéliens finis : système de générateurs d'après la décomposition en facteurs invariants
3. Générateurs de [formule]
   • [formule]
   • [formule]
   • [formule] pour [formule]
4. Générateurs de [formule] et [formule]
   • [formule] est engendré par les transvections
   • [formule] est engendré par les transvections et une dilatation
   • [formule] est engendré par les réflexions (Cartan-Dieudonné)
5. Groupes libres et présentations
   • Groupe libre sur [formule] : le plus grand groupe engendré par [formule] sans relation
   • Présentation par générateurs et relations
   • Exemple : [formule]
6. Applications
   • Graphe de Cayley d'un groupe par rapport à une partie génératrice
   • Algorithme de réduction par échelon dans [formule]
   • Application cryptographique : générateurs de [formule]

Théorèmes clés

• [formule] est engendré par [formule] et [formule], et aussi par les transpositions adjacentes [formule]
• [formule] est engendré par les transvections [formule]
• Théorème de Cartan-Dieudonné : toute isométrie d'un espace euclidien de dimension [formule] est composée d'au plus [formule] réflexions
• Tout groupe est quotient d'un groupe libre

Exemples importants

• [formule] a [formule] générateurs : [formule]
• Présentation du groupe diédral : [formule]
• [formule] est cyclique d'ordre [formule] : existence d'une racine primitive modulo [formule]
• Le groupe de Heisenberg [formule] est engendré par [formule] éléments

Erreurs courantes

• Confondre une partie génératrice et une base : une partie génératrice n'est pas forcément libre
• Oublier que [formule] n'est pas toujours cyclique : [formule]
• Croire que [formule] est engendré par un seul élément pour [formule]

Conseils du jury

• Savoir démontrer que [formule]
• La preuve que [formule] est engendré par les transvections via le pivot de Gauss est un développement efficace
• Le jury attend des exemples variés touchant à la théorie des groupes, l'algèbre linéaire et l'arithmétique

Développements associés

• Générateurs de GL_n(K)
• Générateurs du groupe symétrique
• Classification des groupes abéliens finis
• Théorème de Cartan-Dieudonné
• Composition de réflexions
• Pivot de Gauss
• Simplicité du groupe alterné Aₙ pour n ≥ 5
• Théorème de Cartan-Dieudonné

Prérequis

groupes structures