Leçon 105 — Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.

Points clés

• Cycles, transpositions
• Signature
• Groupe alterné
• Simplicité de [formule]
• Actions sur les polynômes

Plan

1. Décomposition en cycles
   • Cycles et supports disjoints : décomposition unique en produit de cycles à supports disjoints
   • Type d'une permutation : partition de [formule] donnée par les longueurs des cycles
   • Ordre d'une permutation : ppcm des longueurs des cycles
2. Transpositions et engendrement
   • [formule] est engendré par les transpositions
   • [formule] est engendré par les transpositions adjacentes [formule]
   • [formule] est engendré par [formule] et le n-cycle [formule]
3. Signature et groupe alterné
   • Signature : unique morphisme surjectif [formule]
   • Groupe alterné [formule] : sous-groupe d'indice [formule], donc distingué
   • Cardinal : [formule]
4. Simplicité de [formule] pour [formule]
   • Les 3-cycles engendrent [formule]
   • Tout sous-groupe distingué non trivial de [formule] contient un 3-cycle
   • Démonstration de la simplicité pour [formule]
5. Classes de conjugaison
   • Dans [formule] : deux permutations sont conjuguées ssi elles ont le même type cyclique
   • Dans [formule] : une classe de [formule] peut se scinder
   • Application : table des caractères de [formule], [formule]
6. Applications
   • Théorème de Cayley : tout groupe fini d'ordre [formule] se plonge dans [formule]
   • Action sur les racines d'un polynôme : groupe de Galois comme sous-groupe de [formule]
   • Dérangements : nombre de permutations sans point fixe, [formule]

Théorèmes clés

• Toute permutation de [formule] se décompose de manière unique (à l'ordre près) en produit de cycles à supports disjoints
• Simplicité de [formule] pour [formule] : le groupe alterné [formule] n'a aucun sous-groupe distingué propre non trivial
• Théorème de Cayley : tout groupe fini [formule] d'ordre [formule] est isomorphe à un sous-groupe de [formule]
• L'ordre d'une permutation [formule] est le ppcm des longueurs de ses cycles : [formule]

Exemples importants

• Dans [formule] : [formule] est d'ordre [formule]
• Le nombre de classes de conjugaison de [formule] est le nombre de partitions de [formule]
• Le nombre de dérangements : [formule], approximation [formule]
• Le discriminant [formule] est un invariant de [formule]
• Le groupe [formule] possède un sous-groupe distingué [formule] (groupe de Klein)

Erreurs courantes

• Oublier l'hypothèse [formule] pour la simplicité de [formule]
• Se tromper dans le calcul de la signature : un k-cycle est de signature [formule]
• Confondre les classes de conjugaison dans [formule] et dans [formule]

Conseils du jury

• La simplicité de [formule] pour [formule] est un développement incontournable
• Connaître les formules pour les dérangements et le lien avec [formule] est apprécié
• Le jury attend que l'on sache calculer rapidement l'ordre et la signature d'une permutation

Développements associés

• Simplicité du groupe alterné Aₙ pour n ≥ 5
• Discriminant et applications
• Lemme de Burnside et applications
• Générateurs du groupe symétrique
• Groupe des rotations de l'icosaèdre
• Loi de réciprocité quadratique

Prérequis

groupes structures, groupes finis