Leçon 104 — Groupes finis. Exemples et applications.

Points clés

• Théorème de Lagrange
• Théorèmes de Sylow
• Groupes abéliens finis
• Groupes diédraux, symétriques
• Classification des petits groupes

Plan

1. Résultats fondamentaux sur les groupes finis
   • Théorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe
   • Conséquences : [formule], ordre d'un élément divise [formule]
   • Réciproque partielle de Lagrange : théorème de Cauchy
2. Théorèmes de Sylow
   • Existence, conjugaison et nombre de p-sous-groupes de Sylow
   • Application : groupes d'ordre [formule] avec [formule]
   • Critère de normalité d'un p-Sylow : [formule]
3. Groupes abéliens finis
   • Théorème de structure : [formule] avec [formule]
   • Décomposition en facteurs invariants et en composantes primaires
   • Nombre de groupes abéliens d'ordre [formule] : produit de partitions
4. Exemples de groupes finis classiques
   • Groupes diédraux [formule] : groupe des isométries d'un polygone régulier
   • Groupe symétrique [formule] et groupe alterné [formule]
   • Groupe quaternionique [formule]
5. Classification des petits groupes
   • Groupes d'ordre [formule] : cycliques (Lagrange)
   • Groupes d'ordre [formule] : abéliens ([formule] ou [formule])
   • Groupes d'ordre [formule] ([formule]) : cyclique si [formule]
6. Applications
   • Petit théorème de Fermat : [formule]
   • Théorème de Wilson : [formule]
   • Non-existence de groupes simples d'ordre donné

Théorèmes clés

• Théorème de Lagrange : si [formule] est un sous-groupe d'un groupe fini [formule], alors [formule] divise [formule] et [formule]
• Théorème de Cauchy : si [formule] est un premier divisant [formule], alors [formule] possède un élément d'ordre [formule]
• Théorème de structure des groupes abéliens finis : tout groupe abélien fini [formule] s'écrit de façon unique [formule] avec [formule]
• Classification des groupes d'ordre [formule] : tout groupe d'ordre [formule] est abélien, isomorphe à [formule] ou [formule]

Exemples importants

• Les deux groupes d'ordre [formule] : [formule] (cyclique) et [formule] (groupe de Klein)
• Le groupe diédral [formule] d'ordre [formule] : plus petit groupe non abélien
• Il n'existe pas de groupe simple d'ordre [formule] : par Sylow, analyse des [formule] et [formule]
• [formule] : groupe d'ordre [formule] non isomorphe à [formule] ni à [formule]
• Tout groupe d'ordre [formule] est cyclique : [formule], [formule] par Sylow

Erreurs courantes

• Confondre la réciproque de Lagrange (fausse en général) avec le théorème de Cauchy : [formule] d'ordre [formule] n'a pas de sous-groupe d'ordre [formule]
• Oublier que tout groupe d'ordre [formule] est abélien
• Ne pas vérifier systématiquement les contraintes [formule] et [formule]

Conseils du jury

• Savoir classifier les groupes d'ordre [formule] est un exercice classique que le jury peut demander
• La démonstration du théorème de structure des groupes abéliens finis est un développement très apprécié
• Avoir des exemples non abéliens variés ([formule], [formule], [formule]) montre une bonne culture

Développements associés

• Théorèmes de Sylow
• Classification des groupes abéliens finis
• Classification des groupes d'ordre pq
• Lemme de Burnside et applications
• Lemme de Burnside matriciel
• Centre d'un p-groupe
• Classification des polyèdres réguliers
• Équation aux classes
• Générateurs du groupe symétrique
• Groupe des rotations de l'icosaèdre
• Algorithme RSA
• Simplicité du groupe alterné Aₙ pour n ≥ 5
• Sous-groupes finis de SO(3)

Prérequis

groupes structures, groupes finis