Leçon 104 — Groupes finis. Exemples et applications.
Points clés
Théorème de Lagrange
Théorèmes de Sylow
Groupes abéliens finis
Groupes diédraux, symétriques
Classification des petits groupes
Plan
Résultats fondamentaux sur les groupes finis
Théorème de Lagrange : l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe
Conséquences : [formule], ordre d'un élément divise [formule]
Réciproque partielle de Lagrange : théorème de Cauchy
Théorèmes de Sylow
Existence, conjugaison et nombre de p-sous-groupes de Sylow
Application : groupes d'ordre [formule] avec [formule]
Critère de normalité d'un p-Sylow : [formule]
Groupes abéliens finis
Théorème de structure : [formule] avec [formule]
Décomposition en facteurs invariants et en composantes primaires
Nombre de groupes abéliens d'ordre [formule] : produit de partitions
Exemples de groupes finis classiques
Groupes diédraux [formule] : groupe des isométries d'un polygone régulier
Groupe symétrique [formule] et groupe alterné [formule]
Groupe quaternionique [formule]
Classification des petits groupes
Groupes d'ordre [formule] : cycliques (Lagrange)
Groupes d'ordre [formule] : abéliens ([formule] ou [formule])
Groupes d'ordre [formule] ([formule]) : cyclique si [formule]
Applications
Petit théorème de Fermat : [formule]
Théorème de Wilson : [formule]
Non-existence de groupes simples d'ordre donné
Théorèmes clés
Théorème de Lagrange : si [formule] est un sous-groupe d'un groupe fini [formule], alors [formule] divise [formule] et [formule]
Théorème de Cauchy : si [formule] est un premier divisant [formule], alors [formule] possède un élément d'ordre [formule]
Théorème de structure des groupes abéliens finis : tout groupe abélien fini [formule] s'écrit de façon unique [formule] avec [formule]
Classification des groupes d'ordre [formule] : tout groupe d'ordre [formule] est abélien, isomorphe à [formule] ou [formule]
Exemples importants
Les deux groupes d'ordre [formule] : [formule] (cyclique) et [formule] (groupe de Klein)
Le groupe diédral [formule] d'ordre [formule] : plus petit groupe non abélien
Il n'existe pas de groupe simple d'ordre [formule] : par Sylow, analyse des [formule] et [formule]
[formule] : groupe d'ordre [formule] non isomorphe à [formule] ni à [formule]
Tout groupe d'ordre [formule] est cyclique : [formule], [formule] par Sylow
Erreurs courantes
Confondre la réciproque de Lagrange (fausse en général) avec le théorème de Cauchy : [formule] d'ordre [formule] n'a pas de sous-groupe d'ordre [formule]
Oublier que tout groupe d'ordre [formule] est abélien
Ne pas vérifier systématiquement les contraintes [formule] et [formule]
Conseils du jury
Savoir classifier les groupes d'ordre [formule] est un exercice classique que le jury peut demander
La démonstration du théorème de structure des groupes abéliens finis est un développement très apprécié
Avoir des exemples non abéliens variés ([formule], [formule], [formule]) montre une bonne culture