Leçon 103 — Conjugaison dans un groupe. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients.

Points clés

• Classes de conjugaison
• Centralisateur, normalisateur
• Sous-groupes distingués
• Groupes quotients
• Théorèmes d'isomorphisme

Plan

1. Action par conjugaison
   • Conjugaison : [formule], action de [formule] sur lui-même
   • Classes de conjugaison : partitionnent [formule]
   • Centralisateur [formule], taille de la classe : [formule]
2. Centre et équation aux classes
   • Centre [formule] : noyau de l'action par conjugaison
   • Équation aux classes : [formule]
   • Application : le centre d'un p-groupe est non trivial
3. Sous-groupes distingués et groupes quotients
   • Sous-groupe distingué : [formule] ssi [formule] pour tout [formule]
   • Noyau d'un morphisme : toujours distingué
   • Groupe quotient [formule] : opération bien définie ssi [formule]
4. Théorèmes d'isomorphisme
   • Premier théorème : si [formule] morphisme, [formule]
   • Deuxième théorème : [formule]
   • Troisième théorème : [formule]
5. Simplicité et groupes résolubles
   • Groupe simple : pas de sous-groupe distingué propre non trivial
   • Simplicité de [formule] pour [formule]
   • Groupe résoluble : suite de composition à facteurs abéliens
6. Applications
   • Classes de conjugaison dans [formule] : déterminées par le type de partition
   • Centre de [formule] : les homothéties [formule]
   • Application à la non-simplicité de groupes d'ordre donné

Théorèmes clés

• Premier théorème d'isomorphisme : si [formule] est un morphisme de groupes, alors [formule]
• Le centre d'un p-groupe fini non trivial est non trivial : [formule] et [formule], donc [formule]
• Simplicité de [formule] pour [formule] : [formule] n'a aucun sous-groupe distingué propre non trivial
• Critère de normalité : [formule] si et seulement si [formule] est réunion de classes de conjugaison

Exemples importants

• Classes de conjugaison de [formule] : [formule], [formule], [formule]
• Dans [formule], deux permutations sont conjuguées ssi elles ont le même type cyclique
• Le centre de [formule] pour [formule] est trivial : [formule]
• Le quotient [formule] via la signature

Erreurs courantes

• Oublier que le quotient [formule] n'est un groupe que si [formule] est distingué
• Confondre centralisateur [formule] et normalisateur [formule]
• Penser que tout sous-groupe de [formule] est distingué (faux : [formule] n'est pas distingué dans [formule])

Conseils du jury

• La simplicité de [formule] pour [formule] est un développement classique : savoir le démontrer en utilisant les 3-cycles
• Connaître les classes de conjugaison de [formule] et savoir calculer l'équation aux classes de [formule], [formule]
• Le jury apprécie qu'on distingue clairement les trois théorèmes d'isomorphisme et qu'on donne un exemple pour chacun

Développements associés

• Simplicité du groupe alterné Aₙ pour n ≥ 5
• Centre d'un p-groupe
• Lemme de Burnside matriciel
• Classification des groupes d'ordre pq
• Équation aux classes
• Théorèmes de Sylow

Prérequis

groupes structures