Leçon 411 — Enveloppes de familles de courbes et surfaces.
Points clés
Famille de courbes à un paramètre
Condition d'enveloppe
Enveloppe d'une famille de droites
Caustiques et développées
Enveloppes de surfaces
Plan
Familles de courbes à un paramètre
Famille [formule] définie par [formule]
Enveloppe : courbe tangente à chaque [formule]
Condition nécessaire : [formule] et [formule]
Théorie des enveloppes
Système d'enveloppe : éliminer [formule] entre [formule] et [formule]
Courbe discriminante : lieu des points singuliers de la famille
Condition suffisante de tangence : transversalité
Enveloppe d'une famille de droites
Famille de droites : [formule] avec [formule] fonctions de [formule]
L'enveloppe est la développée si les droites sont les normales à une courbe
Exemple : droites tangentes à une courbe plane, l'enveloppe est la courbe elle-même
Développées et développantes
Développée : enveloppe des normales à une courbe = lieu des centres de courbure
Développante : courbe dont la développée est une courbe donnée
Relation : la développante se déroule sur la développée
Caustiques
Caustique par réflexion : enveloppe des rayons réfléchis
Caustique d'un cercle pour une source ponctuelle : néphroïde
Caustique par réfraction
Enveloppes de familles de surfaces
Famille [formule] : [formule], enveloppe par [formule] et [formule]
Tube autour d'une courbe : enveloppe de sphères de rayon [formule]
Canal : enveloppe de sphères à rayon variable
Théorèmes clés
Condition d'enveloppe : l'enveloppe de la famille [formule] est contenue dans l'ensemble défini par [formule] et [formule]
La développée d'une courbe est l'enveloppe de ses normales et le lieu de ses centres de courbure
Théorème de dualité : si [formule] est l'enveloppe des tangentes à [formule], alors [formule] est l'enveloppe des tangentes à [formule] (sous conditions de régularité)
L'enveloppe d'une famille de géodésiques d'une surface est une caustique (front d'onde)
Exemples importants
Développée de l'ellipse : astroïde [formule]
Enveloppe de la famille de droites [formule] : cercle de rayon [formule]
Néphroïde : caustique d'un cercle pour des rayons parallèles
Cycloïde comme développante d'elle-même (à translation près)
Erreurs courantes
La condition [formule], [formule] est nécessaire mais pas toujours suffisante (vérifier la tangence)
Confondre enveloppe et lieu de points singuliers de la famille
Oublier de vérifier que la courbe obtenue est effectivement tangente aux courbes de la famille
Conseils du jury
Savoir calculer des enveloppes sur des exemples variés (droites, cercles)
Le lien développée/enveloppe des normales est un résultat important
Le jury apprécie les applications physiques (optique, caustiques)