Leçon 411 — Enveloppes de familles de courbes et surfaces.

Points clés

• Famille de courbes à un paramètre
• Condition d'enveloppe
• Enveloppe d'une famille de droites
• Caustiques et développées
• Enveloppes de surfaces

Plan

1. Familles de courbes à un paramètre
   • Famille [formule] définie par [formule]
   • Enveloppe : courbe tangente à chaque [formule]
   • Condition nécessaire : [formule] et [formule]
2. Théorie des enveloppes
   • Système d'enveloppe : éliminer [formule] entre [formule] et [formule]
   • Courbe discriminante : lieu des points singuliers de la famille
   • Condition suffisante de tangence : transversalité
3. Enveloppe d'une famille de droites
   • Famille de droites : [formule] avec [formule] fonctions de [formule]
   • L'enveloppe est la développée si les droites sont les normales à une courbe
   • Exemple : droites tangentes à une courbe plane, l'enveloppe est la courbe elle-même
4. Développées et développantes
   • Développée : enveloppe des normales à une courbe = lieu des centres de courbure
   • Développante : courbe dont la développée est une courbe donnée
   • Relation : la développante se déroule sur la développée
5. Caustiques
   • Caustique par réflexion : enveloppe des rayons réfléchis
   • Caustique d'un cercle pour une source ponctuelle : néphroïde
   • Caustique par réfraction
6. Enveloppes de familles de surfaces
   • Famille [formule] : [formule], enveloppe par [formule] et [formule]
   • Tube autour d'une courbe : enveloppe de sphères de rayon [formule]
   • Canal : enveloppe de sphères à rayon variable

Théorèmes clés

• Condition d'enveloppe : l'enveloppe de la famille [formule] est contenue dans l'ensemble défini par [formule] et [formule]
• La développée d'une courbe est l'enveloppe de ses normales et le lieu de ses centres de courbure
• Théorème de dualité : si [formule] est l'enveloppe des tangentes à [formule], alors [formule] est l'enveloppe des tangentes à [formule] (sous conditions de régularité)
• L'enveloppe d'une famille de géodésiques d'une surface est une caustique (front d'onde)

Exemples importants

• Développée de l'ellipse : astroïde [formule]
• Enveloppe de la famille de droites [formule] : cercle de rayon [formule]
• Néphroïde : caustique d'un cercle pour des rayons parallèles
• Cycloïde comme développante d'elle-même (à translation près)

Erreurs courantes

• La condition [formule], [formule] est nécessaire mais pas toujours suffisante (vérifier la tangence)
• Confondre enveloppe et lieu de points singuliers de la famille
• Oublier de vérifier que la courbe obtenue est effectivement tangente aux courbes de la famille

Conseils du jury

• Savoir calculer des enveloppes sur des exemples variés (droites, cercles)
• Le lien développée/enveloppe des normales est un résultat important
• Le jury apprécie les applications physiques (optique, caustiques)

Développements associés

• Enveloppe de droites tangentes
• Caustique du cercle

Prérequis

calcul differentiel, courbes parametrees, fonctions implicites