Leçon 410 — Géométrie projective du plan. Dualité, birapport.

Points clés

• Espace projectif : définition et coordonnées homogènes
• Droites projectives et dualité
• Birapport et invariance projective
• Théorème de Desargues et théorème de Pappus
• Coniques projectives

Plan

1. Espace projectif
   • Définition : [formule] où [formule]
   • Coordonnées homogènes [formule]
   • Carte affine : [formule] (droite/plan à l'infini)
2. Le plan projectif [formule]
   • Points et droites : une droite projective est l'ensemble des zéros d'une forme linéaire [formule]
   • Deux droites distinctes se coupent toujours en exactement un point
   • Axiomes d'incidence : par deux points passe une unique droite
3. Dualité projective
   • Principe de dualité : échange points [formule] droites dans [formule]
   • Dual d'un théorème : Desargues est auto-dual
   • Espace dual [formule] et conique duale
4. Birapport
   • Définition pour quatre points alignés : [formule]
   • Invariance par homographie (transformation projective)
   • Division harmonique : birapport [formule]
5. Théorèmes fondamentaux
   • Théorème de Desargues : deux triangles en perspective depuis un point sont en perspective depuis une droite
   • Théorème de Pappus : si [formule] sont sur une droite et [formule] sur une autre, alors [formule], [formule], [formule] sont alignés
   • Théorème fondamental de la géométrie projective : une homographie est déterminée par [formule] points en position générale
6. Coniques projectives
   • Conique de [formule] : zéros d'une forme quadratique
   • Classification projective : toute conique non dégénérée est projectivement équivalente à [formule]
   • Théorème de Pascal : hexagone inscrit dans une conique

Théorèmes clés

• Théorème de Desargues : si deux triangles [formule] et [formule] sont en perspective depuis un point [formule], alors les intersections [formule], [formule], [formule] sont alignées
• Théorème de Pappus : pour six points [formule] alternés sur deux droites, les points [formule], [formule], [formule] sont alignés
• Invariance du birapport : si [formule] est une homographie, [formule]
• Théorème de Pascal : les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se coupent en trois points alignés

Exemples importants

• Droite projective réelle [formule] : homéomorphe au cercle [formule]
• Droites parallèles dans le plan affine se coupent en un point à l'infini dans [formule]
• Division harmonique : le milieu de [formule] et le point à l'infini forment un couple harmonique avec [formule]
• Théorème de Desargues appliqué à la perspective en dessin

Erreurs courantes

• Oublier les points à l'infini dans les énoncés projectifs
• Confondre birapport et rapport simple
• Appliquer le principe de dualité sans vérifier que le théorème est valide dans le cadre projectif

Conseils du jury

• Le théorème de Desargues avec sa démonstration est un développement classique
• L'invariance du birapport par homographie est un résultat fondamental à maîtriser
• Le jury apprécie des figures soignées illustrant les configurations projectives

Développements associés

• Théorème de Desargues
• Invariance du birapport
• Théorèmes de Ceva et Ménélaüs

Prérequis

algebre lineaire, espaces affines, geometrie elementaire