Leçon 410 — Géométrie projective du plan. Dualité, birapport.
Points clés
Espace projectif : définition et coordonnées homogènes
Droites projectives et dualité
Birapport et invariance projective
Théorème de Desargues et théorème de Pappus
Coniques projectives
Plan
Espace projectif
Définition : [formule] où [formule]
Coordonnées homogènes [formule]
Carte affine : [formule] (droite/plan à l'infini)
Le plan projectif [formule]
Points et droites : une droite projective est l'ensemble des zéros d'une forme linéaire [formule]
Deux droites distinctes se coupent toujours en exactement un point
Axiomes d'incidence : par deux points passe une unique droite
Dualité projective
Principe de dualité : échange points [formule] droites dans [formule]
Dual d'un théorème : Desargues est auto-dual
Espace dual [formule] et conique duale
Birapport
Définition pour quatre points alignés : [formule]
Invariance par homographie (transformation projective)
Division harmonique : birapport [formule]
Théorèmes fondamentaux
Théorème de Desargues : deux triangles en perspective depuis un point sont en perspective depuis une droite
Théorème de Pappus : si [formule] sont sur une droite et [formule] sur une autre, alors [formule], [formule], [formule] sont alignés
Théorème fondamental de la géométrie projective : une homographie est déterminée par [formule] points en position générale
Coniques projectives
Conique de [formule] : zéros d'une forme quadratique
Classification projective : toute conique non dégénérée est projectivement équivalente à [formule]
Théorème de Pascal : hexagone inscrit dans une conique
Théorèmes clés
Théorème de Desargues : si deux triangles [formule] et [formule] sont en perspective depuis un point [formule], alors les intersections [formule], [formule], [formule] sont alignées
Théorème de Pappus : pour six points [formule] alternés sur deux droites, les points [formule], [formule], [formule] sont alignés
Invariance du birapport : si [formule] est une homographie, [formule]
Théorème de Pascal : les côtés opposés d'un hexagone inscrit dans une conique se coupent en trois points alignés
Exemples importants
Droite projective réelle [formule] : homéomorphe au cercle [formule]
Droites parallèles dans le plan affine se coupent en un point à l'infini dans [formule]
Division harmonique : le milieu de [formule] et le point à l'infini forment un couple harmonique avec [formule]
Théorème de Desargues appliqué à la perspective en dessin
Erreurs courantes
Oublier les points à l'infini dans les énoncés projectifs
Confondre birapport et rapport simple
Appliquer le principe de dualité sans vérifier que le théorème est valide dans le cadre projectif
Conseils du jury
Le théorème de Desargues avec sa démonstration est un développement classique
L'invariance du birapport par homographie est un résultat fondamental à maîtriser
Le jury apprécie des figures soignées illustrant les configurations projectives