Leçon 409 — Similitudes planes. Applications.

Points clés

• Similitude directe et indirecte du plan
• Écriture complexe des similitudes
• Point fixe et rapport de similitude
• Composition de similitudes
• Applications géométriques

Plan

1. Similitudes du plan : définition
   • Définition : [formule] est une similitude de rapport [formule] si [formule]
   • Similitude directe et indirecte : [formule]
   • Groupe des similitudes : le rapport est un morphisme vers [formule]
2. Écriture complexe
   • Similitude directe : [formule] avec [formule], rapport [formule], angle [formule]
   • Similitude indirecte : [formule] avec [formule]
   • Point fixe : si [formule], unique point fixe [formule]
3. Similitudes directes : classification
   • Si [formule] : translation [formule]
   • Si [formule], [formule] : rotation de centre [formule] et d'angle [formule]
   • Si [formule] : similitude directe de centre [formule], de rapport [formule] et d'angle [formule] (similitude spirale)
4. Composition de similitudes
   • La composée de deux similitudes est une similitude (ou une translation)
   • Rapport de la composée : produit des rapports
   • Composée de deux réflexions d'axes sécants : rotation
5. Applications géométriques
   • Spirale de Fibonacci et similitudes itérées
   • Construction de triangles semblables : conditions suffisantes
   • Point de concours par les similitudes : théorème de Napoléon
6. Systèmes de fonctions itérées (IFS)
   • Similitudes contractantes et attracteur
   • Fractales classiques : triangle de Sierpinski, flocon de Koch
   • Théorème du point fixe de Hutchinson

Théorèmes clés

• Toute similitude directe du plan s'écrit [formule] avec [formule], [formule], de rapport [formule] et d'angle [formule]
• Point fixe : une similitude directe de rapport [formule] admet un unique point fixe [formule]
• Théorème de Napoléon : si l'on construit des triangles équilatéraux sur les côtés d'un triangle quelconque, leurs centres forment un triangle équilatéral
• Théorème de Hutchinson : si [formule] sont des similitudes contractantes, il existe un unique compact [formule] tel que [formule]

Exemples importants

• Similitude directe [formule] : rapport [formule], angle [formule], centre [formule]
• Triangle de Sierpinski : attracteur de [formule] similitudes de rapport [formule]
• Spirale logarithmique comme orbite d'un point sous itération d'une similitude spirale
• Théorème de Napoléon : preuve par les similitudes complexes

Erreurs courantes

• Oublier le cas de la translation ([formule]) qui n'a pas de point fixe
• Confondre similitude directe ([formule]) et indirecte ([formule])
• Ne pas distinguer rapport de similitude et angle de similitude

Conseils du jury

• L'écriture complexe est un outil puissant : l'utiliser systématiquement
• Le théorème de Napoléon est un développement élégant
• Le jury apprécie les applications aux fractales et aux systèmes itérés

Développements associés

• Similitudes du plan complexe
• Spirale et similitude
• Invariance du birapport
• Classification des isométries du plan
• Propriété foyer-directrice des coniques
• Applications du théorème d'inversion
• Théorème de Ptolémée

Prérequis

nombres complexes, isometries plan, espaces affines