Définition : [formule] est une similitude de rapport [formule] si [formule]
Similitude directe et indirecte : [formule]
Groupe des similitudes : le rapport est un morphisme vers [formule]
Écriture complexe
Similitude directe : [formule] avec [formule], rapport [formule], angle [formule]
Similitude indirecte : [formule] avec [formule]
Point fixe : si [formule], unique point fixe [formule]
Similitudes directes : classification
Si [formule] : translation [formule]
Si [formule], [formule] : rotation de centre [formule] et d'angle [formule]
Si [formule] : similitude directe de centre [formule], de rapport [formule] et d'angle [formule] (similitude spirale)
Composition de similitudes
La composée de deux similitudes est une similitude (ou une translation)
Rapport de la composée : produit des rapports
Composée de deux réflexions d'axes sécants : rotation
Applications géométriques
Spirale de Fibonacci et similitudes itérées
Construction de triangles semblables : conditions suffisantes
Point de concours par les similitudes : théorème de Napoléon
Systèmes de fonctions itérées (IFS)
Similitudes contractantes et attracteur
Fractales classiques : triangle de Sierpinski, flocon de Koch
Théorème du point fixe de Hutchinson
Théorèmes clés
Toute similitude directe du plan s'écrit [formule] avec [formule], [formule], de rapport [formule] et d'angle [formule]
Point fixe : une similitude directe de rapport [formule] admet un unique point fixe [formule]
Théorème de Napoléon : si l'on construit des triangles équilatéraux sur les côtés d'un triangle quelconque, leurs centres forment un triangle équilatéral
Théorème de Hutchinson : si [formule] sont des similitudes contractantes, il existe un unique compact [formule] tel que [formule]
Exemples importants
Similitude directe [formule] : rapport [formule], angle [formule], centre [formule]
Triangle de Sierpinski : attracteur de [formule] similitudes de rapport [formule]
Spirale logarithmique comme orbite d'un point sous itération d'une similitude spirale
Théorème de Napoléon : preuve par les similitudes complexes
Erreurs courantes
Oublier le cas de la translation ([formule]) qui n'a pas de point fixe
Confondre similitude directe ([formule]) et indirecte ([formule])
Ne pas distinguer rapport de similitude et angle de similitude
Conseils du jury
L'écriture complexe est un outil puissant : l'utiliser systématiquement
Le théorème de Napoléon est un développement élégant
Le jury apprécie les applications aux fractales et aux systèmes itérés