Leçon 408 — Barycentres. Applications affines et géométriques.

Points clés

• Barycentre de points pondérés
• Espace affine et combinaisons affines
• Applications affines : définition et propriétés
• Coordonnées barycentriques
• Applications géométriques

Plan

1. Barycentre : définition et existence
   • Points pondérés [formule] avec [formule] : le barycentre [formule] vérifie [formule]
   • Formule : [formule] (en coordonnées)
   • Associativité du barycentre : regroupement de points pondérés
2. Combinaisons affines et coordonnées barycentriques
   • Combinaison affine : [formule] avec [formule]
   • Enveloppe affine : plus petit sous-espace affine contenant un ensemble de points
   • Coordonnées barycentriques d'un point par rapport à un repère affine
3. Applications affines
   • Définition : [formule] affine si [formule] pour toute combinaison affine
   • Caractérisation : [formule] avec [formule] linéaire
   • Propriétés : conservation du parallélisme, des rapports de division, du barycentre
4. Théorèmes classiques de géométrie affine
   • Théorème de Thalès et applications
   • Théorème de Céva : [formule] (céviennes concourantes)
   • Théorème de Ménélaüs : condition d'alignement
5. Points remarquables d'un triangle
   • Centre de gravité [formule] : barycentre [formule]
   • Centre du cercle inscrit [formule] : barycentre [formule] (côtés opposés)
   • Droite d'Euler : [formule], [formule], [formule] alignés avec [formule]
6. Applications
   • Calcul du centre de masse de figures planes et de solides
   • Démonstration du théorème de Ménélaüs par les coordonnées barycentriques
   • Transformation affine des coniques

Théorèmes clés

• Existence et unicité du barycentre : si [formule], il existe un unique point [formule] tel que [formule]
• Théorème de Céva : dans un triangle [formule], les céviennes [formule], [formule], [formule] sont concourantes ssi [formule]
• Théorème de Ménélaüs : [formule], [formule], [formule] sont alignés ssi [formule]
• Toute application affine bijective envoie barycentre sur barycentre : [formule]

Exemples importants

• Centre de gravité du triangle : intersection des médianes, [formule]
• Droite d'Euler d'un triangle : [formule] (circumcentre), [formule] (centre de gravité), [formule] (orthocentre) alignés
• Centre de masse d'un disque homogène : son centre géométrique
• Application affine : la projection parallèle est une application affine

Erreurs courantes

• Oublier la condition [formule] pour l'existence du barycentre
• Confondre combinaison affine ([formule]) et combinaison linéaire
• Ne pas orienter les rapports dans les théorèmes de Céva et Ménélaüs

Conseils du jury

• Les théorèmes de Céva et Ménélaüs sont des développements classiques
• Savoir retrouver les points remarquables du triangle comme barycentres
• Le jury apprécie l'utilisation des coordonnées barycentriques pour simplifier les preuves

Développements associés

• Théorèmes de Ceva et Ménélaüs
• Centre de gravité des solides
• Barycentres et applications
• Théorème de Desargues
• Théorème de Thalès et applications

Prérequis

espaces vectoriels, espaces affines, geometrie elementaire