Leçon 403 — Quadriques. Classification et propriétés.

Points clés

• Définition d'une quadrique dans [formule]
• Réduction de la forme quadratique associée
• Classification des quadriques de [formule] : ellipsoïde, hyperboloïdes, paraboloïdes, cylindres, cônes
• Sections planes et génératrices
• Quadriques réglées

Plan

1. Définition et forme quadratique associée
   • Quadrique : ensemble des zéros d'un polynôme de degré [formule] en [formule] variables
   • Écriture matricielle : [formule] avec [formule] symétrique
   • Quadrique affine et quadrique projective
2. Méthode de réduction
   • Diagonalisation de la partie quadratique par une rotation (théorème spectral)
   • Complétion des carrés pour les termes linéaires
   • Translation pour éliminer les termes de degré [formule] (si possible)
3. Classification en dimension 3
   • Quadriques propres non dégénérées : ellipsoïde, hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux nappes
   • Paraboloïdes : elliptique et hyperbolique
   • Cas dégénérés : cône, cylindre elliptique, cylindre hyperbolique, cylindre parabolique
4. Propriétés géométriques
   • Centre de symétrie (s'il existe) : solution de [formule]
   • Plans de symétrie et axes principaux
   • Sections planes : les sections d'une quadrique par un plan sont des coniques
5. Quadriques réglées
   • Hyperboloïde à une nappe : deux familles de droites (génératrices)
   • Paraboloïde hyperbolique : surface « selle », deux familles de droites
   • Paramétrage par les génératrices
6. Applications
   • Complétion en carrés et formes normales
   • Intersection de deux quadriques : courbe de degré [formule]
   • Quadriques en architecture et design (voûtes hyperboliques)

Théorèmes clés

• Théorème de classification : toute quadrique non dégénérée de [formule] est, à isométrie près, un ellipsoïde, un hyperboloïde (une ou deux nappes) ou un paraboloïde (elliptique ou hyperbolique)
• Loi d'inertie de Sylvester : la signature [formule] de la forme quadratique est un invariant de la quadrique
• Toute section plane d'une quadrique est une conique (éventuellement dégénérée)
• L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont des surfaces réglées doublement

Exemples importants

• Ellipsoïde : [formule]
• Hyperboloïde à une nappe : [formule], surface réglée
• Paraboloïde hyperbolique (selle de cheval) : [formule]
• Cône de révolution : [formule], quadrique dégénérée

Erreurs courantes

• Oublier les cas dégénérés (cônes, cylindres, plans) dans la classification
• Confondre hyperboloïde à une nappe et à deux nappes
• Ne pas vérifier si la quadrique a un centre de symétrie avant de tenter la réduction

Conseils du jury

• La classification complète avec les cas dégénérés est attendue
• Savoir retrouver le type d'une quadrique à partir d'une équation quelconque
• Le jury apprécie des dessins clairs des différentes quadriques

Développements associés

• Classification des quadriques de R³
• Quadrique réglée
• Classification des coniques
• Classification des quadriques
• Loi de Sylvester

Prérequis

formes quadratiques, reduction endomorphismes, espaces affines