Leçon 402 — Coniques. Équations réduites, propriétés métriques.

Points clés

• Définition bifocale et définition par foyer-directrice
• Classification : ellipse, hyperbole, parabole
• Équations réduites dans un repère adapté
• Excentricité et propriétés métriques
• Tangentes et propriétés de réflexion

Plan

1. Définitions des coniques
   • Définition par foyer et directrice : [formule]
   • Définition bifocale : [formule] (ellipse), [formule] (hyperbole)
   • Section d'un cône par un plan : origine du nom
2. Classification et équations réduites
   • Ellipse ([formule]) : [formule] avec [formule]
   • Hyperbole ([formule]) : [formule] avec [formule]
   • Parabole ([formule]) : [formule] (pas de centre de symétrie)
3. Paramètres géométriques
   • Excentricité [formule], demi-grand axe [formule], demi-petit axe [formule], distance focale [formule]
   • Foyers, sommets, directrices
   • Paramètre [formule] (ellipse, hyperbole) ou demi-latus rectum
4. Propriétés métriques et tangentes
   • Équation polaire : [formule]
   • Propriété de réflexion de l'ellipse : la tangente en [formule] est la bissectrice extérieure de [formule]
   • Propriété de réflexion de la parabole : tout rayon parallèle à l'axe est réfléchi vers le foyer
5. Réduction d'une équation du second degré
   • Forme générale : [formule]
   • Méthode : diagonalisation de la partie quadratique puis complétion du carré
   • Invariants : discriminant [formule] et classification
6. Applications
   • Orbites keplériennes : les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer
   • Antennes paraboliques et réflecteurs
   • Construction à la règle et au compas : méthode du jardinier pour l'ellipse

Théorèmes clés

• Toute conique non dégénérée est une ellipse ([formule]), une parabole ([formule]) ou une hyperbole ([formule]), déterminée à isométrie près par son excentricité
• Propriété de réflexion de l'ellipse : la tangente en [formule] fait des angles égaux avec [formule] et [formule]
• Équation polaire d'une conique de foyer à l'origine : [formule]
• Théorème de classification par réduction : toute conique [formule] se ramène à une forme réduite par rotation et translation

Exemples importants

• Cercle : ellipse d'excentricité [formule] ([formule])
• Parabole [formule] : foyer [formule], directrice [formule]
• Hyperbole [formule] : excentricité [formule], asymptotes [formule]
• Première loi de Kepler : les orbites planétaires sont des ellipses

Erreurs courantes

• Confondre demi-grand axe [formule] et distance focale [formule]
• Oublier les cas dégénérés dans la classification (deux droites, un point, l'ensemble vide)
• Ne pas vérifier le sens de l'inégalité pour l'excentricité de chaque type

Conseils du jury

• La classification complète des coniques par réduction est un développement classique
• Savoir passer de la forme générale à la forme réduite rapidement
• Le jury apprécie le lien avec la mécanique céleste (lois de Kepler)

Développements associés

• Classification des coniques
• Propriété de réflexion de l'ellipse
• Coniques
• Propriété foyer-directrice des coniques

Prérequis

formes quadratiques, espaces euclidiens, courbes parametrees