Construction par les temps inter-arrivées : [formule] i.i.d. [formule], [formule]
Équivalence des deux définitions
Propriétés fondamentales
Loi des temps d'arrivée : [formule]
Propriété de Markov forte
Conditionnement : sachant [formule], les instants d'arrivée ont la loi de la statistique d'ordre de [formule] uniformes sur [formule]
Opérations sur les processus de Poisson
Superposition : somme de Poisson indépendants d'intensités [formule] est Poisson d'intensité [formule]
Amincissement (thinning) : chaque événement est conservé avec probabilité [formule] indépendamment
Processus de Poisson non homogène : intensité [formule] variable
Processus de Poisson composé
Définition : [formule] avec [formule] i.i.d.
Espérance et variance : [formule], [formule]
Application en assurance : modèle de Cramér-Lundberg
Applications
File d'attente [formule] : arrivées Poisson, service exponentiel, condition de stabilité [formule]
Modèle de désintégration radioactive
Modélisation du trafic réseau et des appels téléphoniques (formule d'Erlang)
Théorèmes clés
Caractérisation du processus de Poisson : un processus de comptage est de Poisson d'intensité [formule] ssi ses temps inter-arrivées sont i.i.d. [formule]
Conditionnement : sachant [formule], les instants d'arrivée [formule] ont la loi de la statistique d'ordre de [formule] v.a. uniformes sur [formule]
Superposition : si [formule] sont des processus de Poisson indépendants d'intensités [formule], alors [formule] est un processus de Poisson d'intensité [formule]
Amincissement : si [formule] est Poisson[formule] et chaque point est retenu avec probabilité [formule], le processus retenu est Poisson[formule]
Exemples importants
File [formule] : nombre de clients en régime stationnaire suit une loi géométrique de paramètre [formule]
Processus de Poisson composé en assurance : [formule] modélise les sinistres cumulés
Paradoxe de l'inspection : le temps inter-arrivées vu par un observateur arrivant à un instant fixe
Erreurs courantes
Confondre processus de Poisson homogène et non homogène
Oublier que les accroissements sont indépendants ET stationnaires
Confondre temps d'arrivée [formule] et temps inter-arrivée [formule]
Conseils du jury
La construction du processus de Poisson à partir des exponentielles est un développement fondamental
Le paradoxe de l'inspection est un exemple élégant de conditionnement
Le jury apprécie qu'on connaisse les applications en files d'attente et assurance