Leçon 315 — Processus de Poisson. Applications.

Points clés

• Processus de comptage et processus de Poisson
• Propriété de Markov et accroissements indépendants stationnaires
• Construction à partir de temps inter-arrivées exponentiels
• Amincissement et superposition
• Applications : files d'attente, modélisation d'événements

Plan

1. Processus de comptage
   • Définition : processus [formule] à valeurs dans [formule], croissant, continu à droite
   • Accroissements indépendants et stationnaires
   • Intensité : [formule]
2. Définition et caractérisations du processus de Poisson
   • Définition axiomatique : accroissements indépendants, [formule]
   • Construction par les temps inter-arrivées : [formule] i.i.d. [formule], [formule]
   • Équivalence des deux définitions
3. Propriétés fondamentales
   • Loi des temps d'arrivée : [formule]
   • Propriété de Markov forte
   • Conditionnement : sachant [formule], les instants d'arrivée ont la loi de la statistique d'ordre de [formule] uniformes sur [formule]
4. Opérations sur les processus de Poisson
   • Superposition : somme de Poisson indépendants d'intensités [formule] est Poisson d'intensité [formule]
   • Amincissement (thinning) : chaque événement est conservé avec probabilité [formule] indépendamment
   • Processus de Poisson non homogène : intensité [formule] variable
5. Processus de Poisson composé
   • Définition : [formule] avec [formule] i.i.d.
   • Espérance et variance : [formule], [formule]
   • Application en assurance : modèle de Cramér-Lundberg
6. Applications
   • File d'attente [formule] : arrivées Poisson, service exponentiel, condition de stabilité [formule]
   • Modèle de désintégration radioactive
   • Modélisation du trafic réseau et des appels téléphoniques (formule d'Erlang)

Théorèmes clés

• Caractérisation du processus de Poisson : un processus de comptage est de Poisson d'intensité [formule] ssi ses temps inter-arrivées sont i.i.d. [formule]
• Conditionnement : sachant [formule], les instants d'arrivée [formule] ont la loi de la statistique d'ordre de [formule] v.a. uniformes sur [formule]
• Superposition : si [formule] sont des processus de Poisson indépendants d'intensités [formule], alors [formule] est un processus de Poisson d'intensité [formule]
• Amincissement : si [formule] est Poisson[formule] et chaque point est retenu avec probabilité [formule], le processus retenu est Poisson[formule]

Exemples importants

• File [formule] : nombre de clients en régime stationnaire suit une loi géométrique de paramètre [formule]
• Processus de Poisson composé en assurance : [formule] modélise les sinistres cumulés
• Paradoxe de l'inspection : le temps inter-arrivées vu par un observateur arrivant à un instant fixe

Erreurs courantes

• Confondre processus de Poisson homogène et non homogène
• Oublier que les accroissements sont indépendants ET stationnaires
• Confondre temps d'arrivée [formule] et temps inter-arrivée [formule]

Conseils du jury

• La construction du processus de Poisson à partir des exponentielles est un développement fondamental
• Le paradoxe de l'inspection est un exemple élégant de conditionnement
• Le jury apprécie qu'on connaisse les applications en files d'attente et assurance

Développements associés

• Construction du processus de Poisson
• File d'attente M/M/1
• Approximation de Poisson

Prérequis

variables aleatoires densite, loi exponentielle, chaines markov