Leçon 302 — Variables aléatoires discrètes. Loi, espérance, variance.
Points clés
- Variable aléatoire discrète : définition et mesurabilité
- Loi d'une variable aléatoire discrète
- Espérance : définition, linéarité, monotonie
- Variance et écart-type
- Lois classiques : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique
- Inégalités : Markov, Bienaymé-Tchebychev
Plan
- Variables aléatoires discrètes
- Définition : [formule] mesurable avec [formule] dénombrable
- Loi de [formule] : mesure image [formule]
- Fonction de répartition : [formule]
- Espérance d'une variable aléatoire discrète
- Définition : [formule] lorsque la série converge absolument
- Formule de transfert : [formule]
- Linéarité : [formule]
- Monotonie : [formule] p.s. implique [formule]
- Variance et moments
- Variance : [formule]
- Écart-type : [formule]
- Formule de König-Huygens et propriétés de la variance
- Covariance : [formule]
- Lois discrètes classiques
- Loi de Bernoulli [formule] et loi binomiale [formule] : [formule]
- Loi de Poisson [formule] : [formule]
- Loi géométrique [formule] : [formule], propriété d'absence de mémoire
- Inégalités fondamentales
- Inégalité de Markov : [formule] pour [formule]
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : [formule]
- Inégalité de Jensen pour les fonctions convexes
- Applications
- Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson quand [formule], [formule]
- Loi faible des grands nombres pour des variables discrètes
- Paradoxe du collecteur de coupons : temps d'attente moyen [formule]
Théorèmes clés
- Formule de transfert : si [formule] est une v.a. discrète et [formule] une fonction, [formule]
- Inégalité de Markov : pour [formule] et [formule], [formule]
- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : [formule]
- Approximation de Poisson : si [formule], alors [formule]
Exemples importants
- Somme de [formule] variables de Bernoulli indépendantes : loi binomiale [formule], [formule], [formule]
- Loi de Poisson comme limite de lois binomiales : modélisation d'événements rares
- Loi géométrique et temps d'attente du premier succès : [formule], [formule]
- Le problème du collecteur de coupons : somme de v.a. géométriques
Erreurs courantes
- Oublier la condition de sommabilité absolue dans la définition de l'espérance
- Confondre [formule] et [formule] dans le calcul de la variance
- Appliquer la linéarité de la variance sans vérifier l'indépendance
Conseils du jury
- L'approximation de Poisson est un développement classique et très apprécié
- Savoir calculer espérance et variance des lois classiques sans hésitation
- Le jury apprécie qu'on mentionne des applications concrètes (files d'attente, fiabilité)
Développements associés
Prérequis
espaces probabilises, series numeriques