Leçon 266 — Théorèmes de convergence dominée, monotone. Exemples d'applications.

Points clés

• Théorème de convergence monotone (Beppo Levi) : pour les suites croissantes de fonctions positives
• Lemme de Fatou : inégalité pour les limites inférieures
• Théorème de convergence dominée de Lebesgue
• Applications : interversion somme-intégrale, limite-intégrale
• Continuité et dérivation sous le signe intégral comme corollaires
• Applications au calcul d'intégrales et de séries
• Lien avec les modes de convergence en probabilités

Plan

1. Théorème de convergence monotone
   • Énoncé : si [formule] p.p., alors [formule]
   • Démonstration (idée)
   • Application : interversion [formule] et [formule] pour des fonctions positives
2. Lemme de Fatou
   • Énoncé : [formule] pour [formule]
   • Démonstration à partir de la convergence monotone
   • Exemples montrant que l'inégalité peut être stricte
3. Théorème de convergence dominée
   • Énoncé : si [formule] p.p. et [formule], alors [formule]
   • Démonstration via Fatou
   • Importance de la fonction de domination
4. Corollaires : continuité et dérivation sous [formule]
   • Continuité de [formule] par convergence dominée
   • Dérivation : [formule] (théorème de Leibniz)
   • Holomorphie sous le signe intégral
5. Interversion somme-intégrale
   • Cas positif : toujours vrai (convergence monotone)
   • Cas général : convergence dominée ou convergence normale
   • Application : calcul de [formule] par développement en série
6. Applications variées
   • Calcul de [formule]
   • Dérivée de la fonction Gamma : [formule]
   • Lemme de Fatou en probabilités et espérance

Théorèmes clés

• Convergence monotone (Beppo Levi) : si [formule] est une suite croissante de fonctions mesurables positives convergeant p.p. vers [formule], alors [formule] (y compris [formule])
• Lemme de Fatou : pour toute suite [formule] de fonctions mesurables positives, [formule]
• Convergence dominée (Lebesgue) : si [formule] p.p., [formule] avec [formule], alors [formule] et [formule] (en particulier [formule])
• Corollaire (interversion série-intégrale) : si [formule] converge p.p. et [formule], alors [formule]

Exemples importants

• [formule] par convergence dominée avec [formule]
• Interversion [formule] : [formule]
• Fatou strict : [formule], [formule] pour tout [formule], mais [formule] p.p. donc [formule]
• Convergence monotone : [formule]
• Classe [formule] de la fonction Gamma : par dérivation sous le signe intégral itérée avec domination

Erreurs courantes

• Appliquer la convergence dominée sans exhiber la fonction de domination intégrable (l'erreur la plus fréquente)
• Oublier l'hypothèse de positivité dans la convergence monotone et le lemme de Fatou
• Confondre convergence dominée et convergence monotone : la convergence monotone s'applique aux suites croissantes positives sans besoin de domination

Conseils du jury

• Savoir choisir le bon théorème selon la situation : monotone pour les suites croissantes positives, dominée pour le cas général
• Exhiber la fonction de domination est l'étape cruciale : le jury y prête une attention particulière
• Avoir un catalogue d'applications concrètes (calculs de limites d'intégrales, interversions) est très valorisé

Développements associés

• Théorème de convergence dominée
• Lemme de Fatou
• Dérivation sous le signe intégral
• Transformée de Fourier dans L¹

Prérequis

convergences integrales, integration lebesgue