Leçon 264 — Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.

Points clés

• Variable aléatoire discrète : [formule] est dénombrable
• Lois discrètes usuelles : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique
• Fonction génératrice : [formule]
• Espérance et variance par la fonction génératrice
• Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
• Somme de variables indépendantes et convolution discrète
• Marches aléatoires sur [formule]

Plan

1. Définition et loi de probabilité
   • Variable aléatoire discrète : [formule] au plus dénombrable
   • Loi de [formule] déterminée par [formule]
   • Support et fonction de répartition
2. Lois discrètes usuelles
   • Bernoulli [formule] et binomiale [formule]
   • Poisson [formule] : loi des événements rares
   • Géométrique [formule] : loi du premier succès, propriété d'absence de mémoire
3. Espérance, variance, moments
   • [formule], [formule]
   • Calcul pour les lois usuelles
   • Inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev
4. Fonction génératrice
   • Définition : [formule] pour [formule] (ou [formule])
   • [formule] caractérise la loi : [formule]
   • [formule], [formule]
5. Sommes et approximations
   • Indépendance et convolution : [formule]
   • Somme de Poisson : [formule]
   • Approximation de Poisson : [formule]
6. Applications
   • Marche aléatoire simple sur [formule] : récurrence en dimension 1 et 2, transience en dimension [formule]
   • Problème de la ruine du joueur
   • Processus de Galton-Watson : probabilité d'extinction

Théorèmes clés

• Approximation de Poisson : si [formule] avec [formule], alors [formule]
• Stabilité de la loi de Poisson : si [formule] et [formule] sont indépendantes, alors [formule]
• Théorème de récurrence de Pólya : la marche aléatoire simple est récurrente en dimensions [formule] et [formule], et transiente en dimension [formule]
• Critère d'extinction de Galton-Watson : la probabilité d'extinction est [formule] si et seulement si la moyenne [formule]

Exemples importants

• Binomiale [formule] : nombre de succès en [formule] épreuves, [formule], [formule]
• Poisson [formule] : modélisation du nombre d'événements rares, [formule]
• Géométrique [formule] : seule loi discrète sans mémoire, [formule]
• Loi de Benford : distribution du premier chiffre significatif, [formule]
• Problème des rencontres (dérangements) : nombre de points fixes d'une permutation aléatoire suit approximativement [formule]

Erreurs courantes

• Confondre loi géométrique (premier succès au rang [formule], [formule]) et sa variante (nombre d'échecs avant le premier succès)
• Oublier de vérifier l'indépendance avant d'utiliser la propriété [formule]
• Appliquer l'approximation de Poisson sans vérifier que [formule] (et pas [formule])

Conseils du jury

• Connaître les lois usuelles avec leurs paramètres, espérance, variance et fonction génératrice
• L'approximation de Poisson de la binomiale est un développement classique très apprécié
• La marche aléatoire et le problème de la ruine sont des applications concrètes qui plaisent au jury

Développements associés

• Séries génératrices
• Approximation de Poisson
• Convolution de lois binomiales
• Formule de transfert
• Lois usuelles de probabilité

Prérequis

denombrement, variables discretes