Leçon 245 — Fonctions holomorphes sur un ouvert de C.
Points clés
Définition : [formule]-dérivabilité et conditions de Cauchy-Riemann
Toute fonction holomorphe est analytique (développable en série entière)
Théorème intégral de Cauchy et formule de Cauchy
Principe du maximum
Théorème des résidus et applications au calcul d'intégrales
Zéros isolés, prolongement analytique
Théorème de Liouville et théorème fondamental de l'algèbre
Plan
Holomorphie et conditions de Cauchy-Riemann
Dérivée complexe : [formule]
Conditions de Cauchy-Riemann : [formule], [formule]
Exemples : polynômes, [formule], [formule], [formule] sont holomorphes
Théorème et formule de Cauchy
Théorème intégral de Cauchy : [formule] pour [formule] holomorphe
Formule de Cauchy : [formule]
Formules pour les dérivées : [formule]
Analyticité
Toute fonction holomorphe est analytique (développable en série entière)
Série de Taylor : [formule]
Inégalités de Cauchy : [formule]
Propriétés globales
Théorème de Liouville : toute fonction entière bornée est constante
Principe du maximum : [formule] n'atteint pas son maximum à l'intérieur (sauf si [formule] est constante)
Théorème fondamental de l'algèbre (via Liouville)
Singularités et résidus
Développement de Laurent
Classification des singularités isolées (éliminable, pôle, essentielle)
Théorème des résidus : [formule]
Applications
Calcul d'intégrales réelles par les résidus
Dénombrement de zéros (Rouché)
Principe de l'argument
Théorèmes clés
Formule intégrale de Cauchy : si [formule] est holomorphe sur un ouvert contenant le disque [formule] et [formule] est le cercle [formule], alors [formule]
Théorème de Liouville : toute fonction entière (holomorphe sur [formule] entier) bornée est constante
Théorème des résidus : si [formule] est holomorphe sauf en des pôles [formule] intérieurs à [formule], alors [formule]
Principe du maximum : si [formule] est holomorphe et non constante sur un ouvert connexe [formule], alors [formule] n'atteint pas de maximum local dans [formule]
Exemples importants
[formule] par résidus (pôle simple en [formule])
[formule] par substitution [formule]
Théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme non constant de [formule] a une racine
[formule] a une singularité essentielle en [formule] (théorème de Casorati-Weierstrass)
Application de Rouché : [formule] a exactement un zéro dans [formule]
Erreurs courantes
Oublier les hypothèses topologiques (ouvert simplement connexe) dans le théorème intégral de Cauchy
Confondre holomorphe et analytique en réel (en complexe c'est équivalent, pas en réel)
Se tromper dans le calcul des résidus en cas de pôle d'ordre [formule]
Conseils du jury
Savoir calculer des résidus rapidement et appliquer le théorème des résidus à des intégrales réelles
La preuve du théorème fondamental de l'algèbre via Liouville est un classique incontournable
Le jury apprécie la distinction claire entre les différents types de singularités avec des exemples