Leçon 241 — Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Points clés
Convergence simple vs convergence uniforme
Théorème de la double limite : limite uniforme de fonctions continues est continue
Intégration terme à terme (convergence uniforme sur un segment)
Dérivation terme à terme (convergence uniforme de la série des dérivées)
Théorème de Dini : convergence monotone = uniforme sur un compact
Convergence normale des séries de fonctions
Contre-exemples fondamentaux
Plan
Modes de convergence
Convergence simple : [formule] pour tout [formule]
Convergence uniforme : [formule]
Convergence normale pour les séries : [formule]
Continuité de la limite
Si [formule] continues et [formule] uniformément, alors [formule] est continue
Contre-exemple sans uniformité : [formule] sur [formule]
Théorème de Dini : si [formule] continues sur [formule] compact, [formule] continue, alors convergence uniforme
Intégration et convergence
Si [formule] uniformément sur [formule], alors [formule]
Convergence normale et intégration terme à terme des séries
Contre-exemple : convergence simple qui ne permet pas l'interversion
Dérivation et convergence
Théorème : si [formule] simplement, [formule] uniformément, alors [formule]
Application aux séries de fonctions
Contre-exemple : convergence uniforme de [formule] n'implique pas convergence de [formule]
Contre-exemples fondamentaux
[formule] sur [formule] : convergence simple mais pas uniforme
[formule] : [formule] (convergence simple sans domination)
Convergence uniforme de [formule] n'implique pas convergence de [formule] sur un intervalle non borné
Applications
Fonctions définies par des séries entières
Approximation de Weierstrass comme convergence uniforme
Fonction [formule] de Riemann : [formule] pour [formule]
Théorèmes clés
Théorème de la double limite : si [formule] est continue et [formule] uniformément sur [formule], alors [formule] est continue sur [formule]
Théorème de Dini : si [formule] est une suite monotone de fonctions continues sur un compact [formule] convergeant simplement vers une fonction continue [formule], alors la convergence est uniforme
Intégration terme à terme : si [formule] converge uniformément sur [formule], alors [formule]
Dérivation terme à terme : si [formule] converge simplement, [formule] converge uniformément, et les [formule] sont [formule], alors [formule]
Exemples importants
[formule] sur [formule] : converge simplement vers [formule] mais pas uniformément
[formule] : converge uniformément vers [formule], les dérivées [formule] ne convergent pas
Fonction de Weierstrass [formule] : continue partout, dérivable nulle part (avec [formule])
[formule] sur [formule] : [formule] mais [formule]
Théorème de Dini appliqué à [formule] sur [formule] : converge uniformément vers [formule]
Erreurs courantes
Croire que la convergence uniforme implique la convergence des dérivées (faux : [formule])
Intervertir limite et intégrale sur un intervalle non borné sans justification (la convergence uniforme ne suffit pas)
Appliquer Dini sans vérifier la monotonie ou la continuité de la limite
Conseils du jury
Cette leçon nécessite un catalogue de contre-exemples : les préparer et les connaître par cœur
Savoir énoncer et appliquer chaque théorème d'interversion avec toutes ses hypothèses
Le jury apprécie la construction de la fonction de Weierstrass comme illustration de Baire