Théorème de Cauchy-Lipschitz (Picard-Lindelöf) : existence et unicité locale
Théorème de Peano : existence sans unicité avec [formule] seulement continue
Lemme de Gronwall et unicité
Solutions maximales et critère d'explosion en temps fini
Flot d'une équation différentielle autonome
Exemples : modèles de population, oscillateurs
Plan
Cadre général et définitions
Problème de Cauchy : [formule], [formule]
Solution locale, solution maximale
Intervalle maximal d'existence
Existence et unicité : Cauchy-Lipschitz
Hypothèse : [formule] continue et localement lipschitzienne en [formule]
Preuve par le théorème du point fixe de Banach (Picard)
Suites d'approximations successives de Picard
Lemme de Gronwall et conséquences
Énoncé du lemme de Gronwall
Application à l'unicité et à la dépendance continue aux données initiales
Stabilité des solutions
Solutions maximales et explosion
Théorème de sortie de tout compact (critère des bouts)
Explosion en temps fini : exemple [formule]
Solutions globales : conditions suffisantes
Existence sans unicité : Peano
Théorème de Peano (Cauchy-Arzela) : [formule] continue implique existence
Contre-exemple d'unicité : [formule]
Preuve via Ascoli (approximations d'Euler)
Exemples et applications
Équation logistique : [formule]
Système proie-prédateur de Lotka-Volterra
Équation du pendule : [formule]
Théorèmes clés
Théorème de Cauchy-Lipschitz : si [formule] est continue et localement lipschitzienne en la deuxième variable, alors pour tout [formule], le problème de Cauchy [formule], [formule] admet une unique solution maximale
Lemme de Gronwall : si [formule] est continue et [formule] avec [formule] intégrable, alors [formule]
Théorème de Peano : si [formule] est continue, alors le problème de Cauchy admet au moins une solution locale
Critère d'explosion : si la solution maximale [formule] est définie sur [formule] avec [formule], alors [formule] quand [formule] (ou la trajectoire sort de tout compact de [formule])
Exemples importants
Équation [formule] avec [formule] : solution [formule] qui explose en [formule]
Équation [formule] avec [formule] : infinité de solutions (pas d'unicité sans Lipschitz)
Système linéaire [formule] : solution [formule]
Équation logistique [formule] : convergence vers la capacité [formule]
Pendule non linéaire : portrait de phase avec séparatrices
Erreurs courantes
Affirmer que « continue » suffit pour l'unicité (faux, il faut Lipschitz : [formule] est un contre-exemple)
Oublier le caractère local du théorème de Cauchy-Lipschitz et conclure à l'existence globale
Confondre lipschitzienne en [formule] (uniforme en [formule]) et globalement lipschitzienne
Conseils du jury
Savoir démontrer Cauchy-Lipschitz par le point fixe de Banach (développement classique)
Connaître des exemples non triviaux d'explosion en temps fini et de non-unicité
Le portrait de phase du pendule ou de Lotka-Volterra est très apprécié comme illustration