Leçon 215 — Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn.
Points clés
Différentielle de [formule] en un point : application linéaire [formule]
Dérivées partielles et matrice jacobienne
Théorème de Schwarz : symétrie des dérivées partielles croisées
Fonctions de classe [formule] et opérations
Formule de Taylor-Young à l'ordre 2
Règle de la chaîne (composition d'applications différentiables)
Applications : extrema, équations aux dérivées partielles
Plan
Différentiabilité
Définition : [formule] avec [formule] linéaire
Unicité de la différentielle
Lien avec les dérivées partielles : [formule]
Dérivées partielles et classe [formule]
Existence des dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité
Si les dérivées partielles existent et sont continues, alors [formule] est différentiable ([formule])
Jacobienne : matrice de la différentielle dans les bases canoniques
Opérations et règle de la chaîne
Différentielle d'une somme, d'un produit
Règle de la chaîne : [formule]
Différentielle de [formule] si [formule] est un difféomorphisme
Dérivées d'ordre supérieur et Schwarz
Dérivées partielles d'ordre [formule] et classe [formule]
Théorème de Schwarz : [formule] si [formule]
Hessienne et forme quadratique associée
Formules de Taylor
Taylor-Young à l'ordre 1 : [formule]
Taylor-Young à l'ordre 2 : rôle de la hessienne
Inégalité des accroissements finis
Applications
Extrema locaux : condition nécessaire ([formule]) et condition suffisante (hessienne)
Gradient et direction de plus grande pente
Application aux EDP : laplacien, fonctions harmoniques
Théorèmes clés
Théorème de Schwarz : si [formule] est de classe [formule], alors [formule]
Règle de la chaîne : si [formule] est différentiable en [formule] et [formule] est différentiable en [formule], alors [formule] est différentiable en [formule] et [formule]
Inégalité des accroissements finis : si [formule] est [formule] et [formule], alors [formule]
Condition nécessaire d'extremum : si [formule] admet un extremum local en [formule] intérieur au domaine, alors [formule]
Exemples importants
[formule] : [formule], [formule]
[formule] : différentiable sur [formule] mais pas en [formule]
Passage en coordonnées polaires : calcul du jacobien [formule]
La fonction [formule] (complétée par [formule] en [formule]) : les dérivées partielles existent en [formule] mais [formule] n'est pas continue
Fonctions harmoniques : [formule] implique [formule] vérifie le principe du maximum
Erreurs courantes
Croire que l'existence des dérivées partielles implique la différentiabilité (faux, il faut la continuité des dérivées partielles)
Oublier l'hypothèse [formule] dans le théorème de Schwarz
Confondre gradient (vecteur) et différentielle (forme linéaire)
Conseils du jury
Avoir un contre-exemple clair montrant que l'existence des dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité
Savoir calculer des jacobiennes pour des changements de variables classiques (polaires, sphériques, cylindriques)
Le jury attend de la rigueur sur les liens entre dérivées partielles, différentiabilité et classe [formule]