Leçon 213 — Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes.

Points clés

• Produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz
• Théorème de projection sur un convexe fermé
• Supplémentaire orthogonal d'un sous-espace fermé
• Bases hilbertiennes : existence et caractérisation
• Égalité de Parseval et inégalité de Bessel
• Théorème de représentation de Riesz
• Séries de Fourier comme exemple fondamental

Plan

1. Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert
   • Produit scalaire, norme associée, inégalité de Cauchy-Schwarz
   • Identité du parallélogramme : caractérisation des normes hilbertiennes
   • Espace de Hilbert = espace préhilbertien complet
2. Projection orthogonale
   • Théorème de projection sur un convexe fermé
   • Projection sur un sous-espace vectoriel fermé
   • Décomposition [formule] pour [formule] fermé
3. Bases hilbertiennes
   • Système orthonormal, système orthonormal total
   • Existence de bases hilbertiennes (Zorn ou Gram-Schmidt)
   • Caractérisation : [formule] est une base hilbertienne ssi [formule]
4. Parseval et Bessel
   • Inégalité de Bessel : [formule]
   • Égalité de Parseval : [formule] ssi [formule] est totale
   • Décomposition [formule]
5. Théorème de représentation de Riesz
   • Toute forme linéaire continue sur [formule] est de la forme [formule]
   • Isomorphisme antilinéaire [formule]
   • Application : théorème de Lax-Milgram (mention)
6. Applications et exemples
   • [formule] et la base [formule]
   • Calcul de [formule] par Parseval
   • Approximation au sens des moindres carrés

Théorèmes clés

• Théorème de projection : si [formule] est un convexe fermé non vide d'un espace de Hilbert [formule], pour tout [formule] il existe un unique [formule] tel que [formule]
• Égalité de Parseval : si [formule] est une base hilbertienne de [formule], alors pour tout [formule], [formule]
• Théorème de Riesz-Fréchet : pour tout [formule] il existe un unique [formule] tel que [formule] pour tout [formule], et [formule]
• Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne dénombrable et est isométriquement isomorphe à [formule]

Exemples importants

• [formule] avec la base hilbertienne [formule] : développement en série de Fourier
• Calcul de [formule] via Parseval appliqué à [formule] sur [formule]
• L'espace [formule] avec la base canonique [formule]
• Polynômes de Legendre : base orthogonale de [formule]
• Meilleure approximation polynomiale au sens [formule] : projection orthogonale

Erreurs courantes

• Oublier que le théorème de projection nécessite la complétude (faux en préhilbertien non complet)
• Confondre base hilbertienne (famille orthonormale totale) et base algébrique (famille libre génératrice)
• Appliquer Parseval avec un système orthonormal qui n'est pas total

Conseils du jury

• Savoir calculer concrètement des projections orthogonales et des coefficients de Fourier
• Le calcul de [formule] ou [formule] par Parseval est un classique très apprécié du jury
• Le théorème de Riesz est fondamental : bien distinguer le cas réel (isomorphisme) et complexe (anti-isomorphisme)

Développements associés

• Égalité de Parseval
• Théorème de Riesz-Fréchet en Hilbert
• Coefficient de corrélation
• Convergence des martingales bornées dans L²
• Espérance conditionnelle dans L²
• Égalité de Parseval pour les séries de Fourier
• Théorème de Plancherel
• Régression linéaire gaussienne

Prérequis

espaces prehilbertiens