Leçon 202 — Exemples de parties denses et applications.

Points clés

• [formule] dense dans [formule], les irrationnels aussi
• Polynômes denses dans [formule] (Weierstrass)
• Fonctions [formule] à support compact denses dans [formule] pour [formule]
• Polynômes trigonométriques denses dans [formule]
• Théorème de Baire et applications à la non-densité
• Matrices diagonalisables denses dans [formule]
• Densité et séparabilité

Plan

1. Rappels topologiques et définitions
   • Partie dense dans un espace métrique
   • Lien avec la séparabilité
   • Méthodes pour prouver la densité
2. Densité dans [formule] et [formule]
   • [formule] dense dans [formule] : argument d'Archimède
   • [formule] dense dans [formule]
   • [formule] dense dans [formule]
3. Densité dans les espaces de fonctions continues
   • Théorème d'approximation de Weierstrass
   • Théorème de Stone-Weierstrass
   • Approximation par des fonctions [formule]
4. Densité dans les espaces [formule]
   • Fonctions étagées denses dans [formule]
   • [formule] dense dans [formule] pour [formule]
   • Polynômes trigonométriques denses dans [formule]
5. Densité en algèbre linéaire et en algèbre
   • Matrices diagonalisables denses dans [formule]
   • Matrices inversibles denses dans [formule]
   • [formule] est dense et ouvert dans [formule]
6. Théorème de Baire et obstructions à la densité
   • Théorème de Baire : un espace métrique complet n'est pas réunion dénombrable de fermés d'intérieur vide
   • Application : [formule] n'est pas dénombrable
   • Application : existence de fonctions continues nulle part dérivables
7. Applications
   • Prolongement par densité d'applications uniformément continues
   • Unicité de la transformée de Fourier sur [formule]
   • Lemme de Du Bois-Reymond

Théorèmes clés

• Théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur [formule] est limite uniforme d'une suite de polynômes
• Théorème de Stone-Weierstrass : une sous-algèbre de [formule] séparant les points et contenant les constantes est dense
• Théorème de Baire : dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense
• Théorème de Müntz : les fonctions [formule] engendrent un sous-espace dense de [formule] si et seulement si [formule]

Exemples importants

• [formule] dense dans [formule] : entre deux réels, il existe un rationnel (propriété d'Archimède)
• Les polynômes de Bernstein [formule] convergent uniformément vers [formule]
• [formule] est dense dans [formule] : [formule] est inversible pour presque tout [formule]
• Les noyaux de Fejér fournissent une approximation de l'identité dans [formule]
• L'ensemble [formule] engendre un sous-espace dense de [formule]

Erreurs courantes

• Énoncer Baire comme « un espace métrique complet n'est pas réunion dénombrable de fermés » sans préciser « d'intérieur vide »
• Confondre densité et surjectivité : une partie dense n'est pas nécessairement l'espace entier
• Oublier l'hypothèse [formule] pour la densité de [formule] dans [formule] (faux pour [formule])

Conseils du jury

• Cette leçon se prête bien à un plan thématique (par type d'espace) plutôt que technique
• Avoir des exemples variés couvrant analyse, algèbre et probabilités montre une bonne culture mathématique
• Maîtriser au moins une preuve constructive de densité (par exemple Bernstein ou convolution)

Développements associés

• Applications du théorème de Baire
• Théorème de Baire et applications
• Densité des polynômes
• Théorème de Stone-Weierstrass

Prérequis

topologie, espaces normes