Leçon 171 — Formes quadratiques réelles. Coniques. Applications.
Points clés
- Positivité
- Réduction
- Coniques : équation réduite
- Classification des coniques
- Foyers, directrices
Plan
- Formes quadratiques réelles
- Positivité, définie positivité, signature
- Critère de Sylvester : mineurs principaux dominants [formule]
- Réduction par complétion du carré
- Coniques : définition et équation
- [formule]
- Discriminant [formule]
- Ellipse ([formule]), hyperbole ([formule]), parabole ([formule])
- Réduction des coniques
- Rotation pour éliminer [formule]
- Translation pour éliminer les termes linéaires
- Équations réduites
- Propriétés focales
- Définition bifocale
- Foyer-directrice et excentricité
- Propriété de réflexion
- Quadriques
- Surfaces quadriques dans [formule]
- Ellipsoïde, hyperboloïdes, paraboloïde
- Surfaces réglées
- Applications
- Orbites keplériennes
- Optique : miroirs paraboliques, elliptiques
- Niveaux de formes quadratiques
Théorèmes clés
- Classification des coniques : [formule] détermine le type
- Réduction : toute conique non dégénérée a une équation réduite
- Propriété focale de l'ellipse : [formule], excentricité [formule]
- Loi d'inertie de Sylvester
Exemples importants
- Ellipse [formule] : [formule]
- Hyperbole [formule] : asymptotes [formule]
- Parabole [formule] : foyer [formule], directrice [formule]
- Hyperboloïde à une nappe : surface doublement réglée
Erreurs courantes
- Confondre cas dégénérés et coniques propres
- Se tromper dans la classification (vérifier tous les invariants)
- Confondre excentricité et aplatissement
Conseils du jury
- Savoir réduire une conique par son équation
- Connaître les propriétés focales et passer d'une définition à l'autre
- Applications physiques appréciées
Développements associés
Prérequis
formes quadratiques, courbes planes