Leçon 162 — Systèmes d'équations linéaires. Opérations élémentaires, pivot de Gauss.
Points clés
- Pivot de Gauss
- Forme échelonnée
- Rang
- Complexité
- Applications numériques
Plan
- Systèmes linéaires : cadre général
- [formule], espace des solutions
- Rouché-Fontené : compatible ssi [formule]
- Dimension des solutions : [formule]
- Pivot de Gauss
- Opérations élémentaires sur les lignes
- Forme échelonnée réduite
- Variables liées et variables libres
- Rang et formes échelonnées
- Rang = nombre de pivots
- Forme échelonnée en lignes, réduite
- Unicité de la forme échelonnée réduite
- Décompositions matricielles
- [formule] : triangulaire inf [formule] triangulaire sup
- [formule] avec pivot partiel
- Cholesky pour les symétriques définies positives
- Complexité et stabilité numérique
- Pivot de Gauss : [formule]
- Pivot partiel pour la stabilité
- Conditionnement [formule]
- Applications
- Calcul du déterminant par pivot
- Inversion par Gauss-Jordan
- Résolution de grands systèmes
Théorèmes clés
- Rouché-Fontené : [formule] compatible ssi [formule]
- Ensemble des solutions : [formule], de dimension [formule]
- [formule] : si tous les mineurs principaux dominants non nuls, décomposition unique
- Complexité : [formule] opérations
Exemples importants
- Résolution [formule] par pivot de Gauss
- Cholesky : [formule]
- Système de Vandermonde et interpolation
- Système homogène : dim [formule]
- Gauss-Jordan : [formule]
Erreurs courantes
- Certaines opérations élémentaires changent le déterminant
- Confondre forme échelonnée et réduite
- Ne pas vérifier la compatibilité avant de résoudre
Conseils du jury
- Savoir résoudre un [formule] rapidement
- [formule] et analyse de complexité montrent une bonne culture
- Mentionner la stabilité numérique est apprécié
Développements associés
Prérequis
systemes lineaires, geometrie matricielle