Leçon 159 — Formes linéaires et dualité en dimension finie.

Points clés

• Dual, base duale
• Bidual
• Orthogonal
• Transposée
• Formes bilinéaires

Plan

1. Dual d'un espace vectoriel
   • [formule]
   • Base duale : [formule]
   • [formule] en dimension finie
2. Bidual et réflexivité
   • Application canonique [formule]
   • [formule] isomorphisme en dimension finie
   • Identification [formule]
3. Orthogonalité et annulateur
   • [formule]
   • [formule]
   • [formule] en dimension finie
4. Application transposée
   • [formule], [formule]
   • [formule]
   • Matrice : transposée dans les bases duales
5. Hyperplans et formes linéaires
   • Hyperplan = noyau d'une forme linéaire non nulle
   • Même noyau ssi proportionnelles
   • Tout sous-espace est intersection d'hyperplans
6. Applications
   • Trace comme forme linéaire sur [formule]
   • Dualité et produit scalaire : [formule]
   • Théorie des systèmes linéaires

Théorèmes clés

• Réflexivité : [formule] isomorphisme en dimension finie
• [formule]
• [formule], [formule]
• Tout sous-espace est intersection d'hyperplans

Exemples importants

• Base duale de la base canonique : formes coordonnées [formule]
• La trace est un hyperplan de [formule]
• Base duale de [formule] dans [formule]
• Transposée et rang
• Dualité hilbertienne via le produit scalaire

Erreurs courantes

• Confondre [formule] et [formule] : isomorphes mais pas canoniquement
• [formule] bijectif seulement en dimension finie
• Confondre orthogonal en dualité et orthogonal pour un produit scalaire

Conseils du jury

• Beaucoup d'exemples concrets pour illustrer cette leçon abstraite
• Savoir manipuler orthogonaux et transposées
• Lien dualité algébrique / dualité hilbertienne apprécié

Développements associés

• Dualité dans les espaces vectoriels
• Formes bilinéaires et quadratiques
• Théorème de la base incomplète
• Théorème de Hahn-Banach géométrique
• Interpolation de Lagrange
• Rang d'une matrice et applications
• Théorème de Riesz-Fréchet en Hilbert
• Déterminant de Vandermonde

Prérequis

espaces vectoriels, formes quadratiques