Leçon 157 — Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
Points clés
- Caractérisation
- Trigonalisation sur ℂ
- Nilpotents : indice
- Jordan (énoncé)
- Dunford
Plan
- Endomorphismes trigonalisables
- Existence d'une base triangulaire
- CNS : [formule] scindé, toujours vrai sur [formule]
- Valeurs propres sur la diagonale
- Endomorphismes nilpotents
- [formule], indice de nilpotence
- Valeurs propres nulles, [formule]
- Trigonalisable avec [formule] sur la diagonale
- Forme de Jordan
- Bloc de Jordan [formule]
- Toute matrice sur [formule] est semblable à une matrice de Jordan, unique
- Unicité à permutation des blocs près
- Décomposition de Dunford
- [formule] avec [formule] diag., [formule] nilp., [formule]
- Unicité, [formule] et [formule] polynômes en [formule]
- Lien avec Jordan
- Invariants de similitude
- Facteurs invariants [formule]
- Forme rationnelle (Frobenius) : blocs compagnons
- Deux matrices semblables ssi mêmes facteurs invariants
- Applications
- Calcul de [formule] et [formule] non diagonalisable
- Classification des nilpotentes par la taille des blocs
- Système [formule] non diagonalisable
Théorèmes clés
- Jordan : sur un corps algébriquement clos, toute matrice est semblable à une matrice de Jordan, unique
- Dunford (si [formule] scindé sur [formule]) : [formule], unique, avec [formule]
- Nilpotent ssi [formule] ssi toutes les valeurs propres nulles
- Indice de nilpotence = taille du plus grand bloc de Jordan
Exemples importants
- [formule] : nilpotente d'indice [formule]
- [formule] : [formule]
- Nilpotentes de [formule] : trois formes de Jordan possibles
- Dérivation sur [formule] : nilpotent d'indice [formule]
Erreurs courantes
- Confondre multiplicité algébrique et nombre de blocs de Jordan
- Jordan dépend du corps (sur [formule] : forme réelle)
- Dunford : la commutation [formule] est essentielle
Conseils du jury
- Dunford est un développement classique : démontrer par le lemme des noyaux
- Savoir calculer Jordan d'une matrice [formule]
- Bon catalogue de matrices nilpotentes apprécié
Développements associés
Prérequis
reduction endomorphismes