Leçon 156 — Exponentielle de matrices. Applications.

Points clés

• Définition et convergence
• Propriétés (produit, inverse)
• Calcul via réduction
• Équations différentielles
• exp(A+B)

Plan

1. Définition et convergence
   • [formule]
   • Convergence absolue
   • Continuité et analyticité de [formule]
2. Propriétés fondamentales
   • [formule] si [formule]
   • [formule] inversible d'inverse [formule], [formule]
   • [formule]
3. Calcul de [formule] par réduction
   • [formule] diagonalisable : [formule]
   • [formule] trigonalisable : Dunford [formule], [formule]
   • Blocs de Jordan
4. Application aux équations différentielles
   • [formule] : solution [formule]
   • Formule de Duhamel avec second membre
   • Stabilité : [formule] ssi valeurs propres de partie réelle [formule]
5. Propriétés topologiques
   • [formule] surjective
   • [formule] non surjective
   • Image contient un voisinage de [formule]
6. Applications
   • Groupes à un paramètre : [formule]
   • Logarithme matriciel pour [formule]
   • Sous-groupes connexes et algèbres de Lie

Théorèmes clés

• Formule de Jacobi : [formule]
• Si [formule], alors [formule] (faux si non-commutation)
• Solution de [formule] : [formule]
• [formule] quand [formule] ssi toutes les valeurs propres de [formule] ont [formule]

Exemples importants

• [formule]
• Bloc de Jordan [formule] : [formule]
• Matrice diagonale : [formule]
• Antisymétrique réelle : [formule]

Erreurs courantes

• [formule] sans vérifier [formule]
• Oublier Duhamel pour le second membre
• [formule] n'implique pas [formule]

Conseils du jury

• Savoir calculer [formule] pour [formule] et [formule] par réduction
• La formule [formule] est un résultat élégant
• Le jury apprécie le lien exponentielle / EDO linéaires

Développements associés

• Exponentielle de matrices
• Équations différentielles et systèmes
• Décomposition de Dunford
• Réduction de Jordan
• Projecteurs spectraux

Prérequis

reduction endomorphismes, series fonctions