Leçon 155 — Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

Points clés

• Caractérisation
• CNS de diagonalisabilité
• Projecteurs spectraux
• Commutant
• Matrices semblables

Plan

1. Définitions et caractérisations
   • [formule] diagonalisable : il existe une base de vecteurs propres
   • CNS : [formule] scindé à racines simples
   • CNS : [formule]
2. Espaces propres et spectre
   • Valeurs propres, spectre [formule]
   • [formule]
   • La somme des espaces propres est directe
3. Projecteurs spectraux
   • [formule] avec [formule] projecteurs
   • [formule] et [formule]
   • Calcul par interpolation de Lagrange
4. Diagonalisation simultanée
   • Endomorphismes diagonalisables qui commutent : co-diagonalisables
   • Application aux endomorphismes symétriques réels
   • Commutant d'un endomorphisme diagonalisable
5. Matrices semblables et invariants
   • Mêmes valeurs propres avec multiplicités
   • Invariants : trace, déterminant, [formule], [formule]
   • Densité des matrices diagonalisables dans [formule]
6. Applications
   • Calcul de [formule]
   • Suite [formule] : comportement asymptotique
   • Exponentielle [formule]

Théorèmes clés

• [formule] diagonalisable ssi [formule] scindé à racines simples
• [formule] diagonalisable ssi [formule]
• Décomposition spectrale : [formule] avec [formule] polynômes en [formule]
• Des endomorphismes diagonalisables qui commutent sont co-diagonalisables

Exemples importants

• [formule] non diagonalisable
• [formule] diagonalisable : valeurs propres [formule]
• Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable
• Projection : diagonalisable avec valeurs propres [formule]
• Densité des diagonalisables dans [formule]

Erreurs courantes

• Confondre multiplicité algébrique et géométrique
• Oublier que la diagonalisabilité dépend du corps
• Oublier qu'une matrice à valeurs propres toutes distinctes est nécessairement diagonalisable

Conseils du jury

• Savoir diagonaliser une matrice [formule] rapidement
• Les projecteurs spectraux forment un beau développement
• Distinguer clairement les différentes CNS

Développements associés

• Projecteurs spectraux
• Diagonalisation simultanée
• Décomposition de Dunford
• Exponentielle de matrices
• Théorème spectral

Prérequis

reduction endomorphismes