Leçon 154 — Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes.

Points clés

• Sous-espaces stables
• Commutant
• Réduction simultanée
• Sous-espaces caractéristiques
• Théorème de Burnside

Plan

1. Sous-espaces stables : définitions
   • [formule], endomorphisme induit [formule]
   • Exemples : [formule], [formule], [formule], [formule], espaces propres
   • Sous-espace cyclique
2. Sous-espaces stables et polynômes
   • [formule] et [formule] sont stables par [formule]
   • Sous-espaces caractéristiques stables
   • Lemme des noyaux et décomposition
3. Commutant et réduction simultanée
   • Commutant de [formule]
   • Si [formule], les espaces propres de [formule] sont stables par [formule]
   • Endomorphismes diagonalisables qui commutent : co-diagonalisables
4. Sous-espaces stables et trigonalisation
   • Trigonalisable ssi drapeau complet stable
   • Existence sur [formule]
   • Forme triangulaire supérieure
5. Théorème de Burnside
   • Si les seuls sous-espaces stables sont [formule] et [formule], alors [formule]
   • Irréductibilité de représentations
   • Lemme de Schur
6. Applications
   • Réduction simultanée de matrices qui commutent
   • Blocs de Jordan = sous-espaces stables indécomposables
   • Systèmes différentiels et sous-espaces stables de [formule]

Théorèmes clés

• Réduction simultanée : des endomorphismes diagonalisables qui commutent sont co-diagonalisables
• Lemme de Schur : si [formule] commute avec une représentation irréductible, [formule]
• Théorème de Burnside : sous-algèbre sans sous-espace stable non trivial = [formule] (sur [formule] alg. clos)
• [formule] est stable par [formule] et par tout endomorphisme commutant avec [formule]

Exemples importants

• [formule] et [formule] : co-diagonalisables
• Rotation [formule] en dim [formule] : pas de sous-espace stable de dim [formule] sur [formule]
• Sous-espace cyclique de la matrice compagnon : [formule] tout entier
• Matrices symétriques réelles qui commutent : co-diagonalisables dans une BON

Erreurs courantes

• Affirmer la co-diagonalisabilité sans vérifier la commutation
• Oublier que [formule] est stable par [formule]
• Confondre sous-espace stable et sous-espace propre

Conseils du jury

• Le théorème de réduction simultanée est un résultat clé
• Lien trigonalisabilité / drapeau stable est important
• Connaître le lemme de Schur montre une bonne culture

Développements associés

• Lemme de Burnside matriciel
• Réduction simultanée
• Théorème de Cayley-Hamilton
• Diagonalisation simultanée
• Décomposition de Dunford
• Réduction de Jordan
• Projecteurs spectraux

Prérequis

reduction endomorphismes