Leçon 152 — Déterminant. Exemples et applications.
Points clés
- Formes n-linéaires alternées
- Calcul par développement
- Déterminant d'un endomorphisme
- Cramer
- Volume et orientation
Plan
- Formes multilinéaires alternées
- Forme n-linéaire alternée sur [formule] de dimension [formule]
- Unicité à un scalaire près
- Antisymétrie et signe des permutations
- Déterminant d'une matrice
- Formule de Leibniz : [formule]
- Développement par rapport à une ligne ou colonne
- [formule]
- Déterminant d'un endomorphisme
- Définition intrinsèque indépendante de la base
- Lien avec les valeurs propres : [formule]
- Polynôme caractéristique : [formule]
- Calcul de déterminants
- Par pivot de Gauss
- Par récurrence et développement
- Vandermonde, circulant, tridiagonal
- Formules de Cramer et comatrice
- Comatrice et [formule]
- Formules de Cramer
- Inverse par la comatrice
- Applications
- Volume et orientation
- Produit vectoriel en dimension [formule]
- Wronskien
Théorèmes clés
- Le déterminant est l'unique forme n-linéaire alternée normalisée
- Formule de Leibniz
- Déterminant de Vandermonde : [formule]
- Formules de Cramer pour les systèmes inversibles
Exemples importants
- Vandermonde : [formule]
- Déterminant circulant via les racines de l'unité
- [formule]
- Déterminant tridiagonal : récurrence d'ordre [formule]
- Wronskien de [formule] : Vandermonde [formule] exponentielle
Erreurs courantes
- Oublier le signe [formule] dans le cofacteur
- Croire que [formule]
- Se tromper dans [formule] (attention à la transposition)
Conseils du jury
- Savoir calculer Vandermonde est incontournable
- Variété dans les méthodes de calcul : développement, pivot, récurrence
- L'interprétation géométrique (volume, orientation) doit être maîtrisée
Développements associés
Prérequis
geometrie matricielle