Leçon 141 — Polynômes irréductibles à une indéterminée.

Points clés

• Critères d'irréductibilité
• Eisenstein
• Réduction modulo p
• Polynômes cyclotomiques
• Irréductibles sur ℝ, ℂ

Plan

1. Irréductibilité : définition et propriétés
   • Polynôme irréductible dans [formule]
   • Irréductible = premier dans [formule] (anneau principal)
   • [formule] est un corps ssi [formule] irréductible
2. Irréductibilité sur [formule] et [formule]
   • D'Alembert-Gauss : les irréductibles de [formule] sont de degré [formule]
   • Irréductibles de [formule] : degré [formule] ou [formule] à discriminant [formule]
   • Décomposition dans [formule]
3. Critères d'irréductibilité sur [formule]
   • Critère d'Eisenstein
   • Réduction modulo [formule]
   • Lemme de Gauss
4. Polynômes cyclotomiques
   • [formule] est irréductible sur [formule], de degré [formule]
   • Preuve pour [formule] par Eisenstein
   • [formule]
5. Irréductibilité sur [formule]
   • Nombre d'irréductibles de degré [formule] : formule de Möbius
   • Construction de [formule]
   • Factorisation de [formule]
6. Applications
   • Construction d'extensions de corps
   • Théorie de Galois et polynôme minimal
   • Constructions à la règle et au compas

Théorèmes clés

• Critère d'Eisenstein : si [formule], [formule] pour [formule], [formule], alors [formule] est irréductible sur [formule]
• Théorème de d'Alembert-Gauss : [formule] est algébriquement clos
• Irréductibilité de [formule] : le n-ième polynôme cyclotomique est irréductible sur [formule]
• Critère par réduction : si [formule] irréductible dans [formule] et [formule], alors [formule] irréductible sur [formule]

Exemples importants

• [formule] irréductible sur [formule] mais pas sur [formule] ni [formule]
• Eisenstein sur [formule]
• [formule] irréductible sur [formule] mais réductible sur [formule] pour tout [formule]
• [formule] irréductible par Eisenstein avec [formule]

Erreurs courantes

• Appliquer Eisenstein sans vérifier [formule]
• Confondre irréductibilité sur [formule] et sur [formule]
• Oublier que la réduction modulo [formule] nécessite la conservation du degré

Conseils du jury

• Savoir appliquer les critères sur des exemples concrets
• L'irréductibilité de [formule] est un développement classique
• Avoir un panorama d'exemples sur différents corps est indispensable

Développements associés

• Critère d'Eisenstein
• Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
• Codes cycliques
• Constructibilité des polygones réguliers
• Polynômes cyclotomiques
• Discriminant et applications
• Existence et unicité des corps finis
• Polygones réguliers et Gauss

Prérequis

polynomes, anneaux corps