Leçon 126 — Exemples d'équations en arithmétique.

Points clés

Équations diophantiennes linéaires
- [formule] : soluble ssi [formule]
- Résolution par Euclide étendu
- Ensemble des solutions : translation d'un réseau
Sommes de carrés
- Théorème de Fermat : deux carrés ssi [formule] ou [formule]
- Théorème de Lagrange : tout entier est somme de quatre carrés
- Identité de Brahmagupta-Fibonacci
Équation de Pell-Fermat [formule]
- Solutions : groupe isomorphe à [formule]
- Solution fondamentale par fractions continues de [formule]
- Toutes les solutions : [formule]
Descente infinie de Fermat
- Principe : montrer l'absence de solutions par descente
- [formule] n'a pas de solution non triviale
- Application : [formule] est irrationnel
Équations modulaires et obstructions locales
- Résolution modulo [formule] : condition nécessaire
- Symbole de Legendre et résidus quadratiques
- Principe local-global de Hasse-Minkowski
Applications et exemples variés
- Triplets pythagoriciens : paramétrisation [formule]
- Dernier théorème de Fermat (énoncé)
- [formule] : soluble ssi [formule]

Théorème des deux carrés (Fermat) : [formule] premier impair est somme de deux carrés ssi [formule]
Théorème de Lagrange (quatre carrés) : tout entier naturel est somme de quatre carrés
Équation de Pell-Fermat : pour [formule] non carré parfait, [formule] admet une infinité de solutions
Descente infinie : [formule] n'admet aucune solution en entiers avec [formule]

Confondre solubilité locale et globale
Oublier de vérifier que la solution fondamentale de Pell-Fermat engendre toutes les solutions
Se tromper dans la descente infinie