Leçon 122 — Anneaux principaux. Applications.

Points clés

• Définition et exemples
• Lemme de Gauss
• PGCD, PPCM
• Anneaux euclidiens
• Entiers de Gauss

Plan

1. Définition et exemples
   • Anneau principal : anneau intègre dont tout idéal est principal
   • Exemples : [formule], [formule], [formule]
   • Anneau euclidien implique principal
2. Divisibilité dans les anneaux principaux
   • PGCD et PPCM : existence et calcul
   • Identité de Bézout
   • Lemme de Gauss
3. Éléments irréductibles et factorisation
   • Irréductible = premier dans un anneau principal
   • Théorème de factorisation unique
   • Comparaison : factoriel vs principal
4. Idéaux et anneaux quotients
   • Idéaux premiers et maximaux
   • [formule] est un corps ssi [formule] irréductible
   • Application : [formule] est un corps ssi [formule] irréductible
5. Les entiers de Gauss [formule]
   • Norme [formule] : [formule] est euclidien
   • Irréductibles de [formule]
   • Application : théorème des deux carrés de Fermat
6. Applications
   • Théorème des deux carrés
   • Modules sur un anneau principal
   • Application à la réduction des endomorphismes

Théorèmes clés

• Tout anneau principal est factoriel
• Tout anneau euclidien est principal
• Identité de Bézout : [formule] dans un anneau principal
• Théorème des deux carrés de Fermat : [formule] premier est somme de deux carrés ssi [formule] ou [formule]

Exemples importants

• [formule] est principal : [formule]
• [formule] n'est pas principal : [formule]
• [formule] est principal mais pas euclidien
• [formule] est principal et euclidien
• Classification des modules de type fini sur [formule]

Erreurs courantes

• Confondre irréductible et premier en général (même chose dans un principal)
• Oublier que principal implique factoriel mais pas l'inverse
• Appliquer Bézout dans un anneau non principal

Conseils du jury

• La preuve du théorème des deux carrés via [formule] est un développement très apprécié
• Savoir distinguer euclidien, principal, factoriel
• Le jury apprécie le lien avec la structure des modules de type fini

Développements associés

• Entiers de Gauss
• Somme de deux carrés
• Théorème chinois des restes
• Codes cycliques
• Critère d'Eisenstein
• Algorithme d'Euclide étendu
• Équation de Pell-Fermat

Prérequis

anneaux corps, arithmetique z