Leçon 120 — Anneaux ℤ/nℤ. Applications.

Points clés

• Structure d'anneau
• Inversibles, indicatrice d'Euler
• Théorème chinois
• Carrés dans ℤ/pℤ
• Cryptographie RSA

Plan

1. Structure d'anneau de [formule]
   • Construction par quotient
   • Addition et multiplication modulo [formule]
   • [formule] est un corps si et seulement si [formule] est premier
2. Groupe des inversibles et indicatrice d'Euler
   • [formule], de cardinal [formule]
   • Théorème d'Euler : [formule] si [formule]
   • Formule : [formule]
3. Théorème chinois des restes
   • Si [formule], alors [formule]
   • Version algorithmique : résolution de systèmes de congruences
   • Application : calcul de [formule]
4. Carrés et résidus quadratiques
   • Symbole de Legendre pour [formule] premier impair
   • Critère d'Euler : [formule]
   • Loi de réciprocité quadratique (énoncé)
5. Structure multiplicative
   • [formule] est cyclique d'ordre [formule]
   • [formule] est cyclique pour [formule] impair
   • [formule] pour [formule]
6. Applications
   • Cryptographie RSA
   • Codes correcteurs et arithmétique modulaire
   • Tests de primalité : Fermat, Miller-Rabin

Théorèmes clés

• Théorème chinois des restes : si [formule], alors [formule] comme anneaux
• Théorème d'Euler-Fermat : si [formule], alors [formule]
• [formule] est cyclique d'ordre [formule] pour tout premier [formule]
• Loi de réciprocité quadratique : pour [formule] premiers impairs distincts, [formule]

Exemples importants

• [formule]
• RSA : [formule], chiffrement basé sur [formule]
• [formule] est une racine primitive modulo [formule] : [formule]
• Les carrés modulo [formule] : [formule]
• [formule] : pas cyclique

Erreurs courantes

• Oublier l'hypothèse [formule] dans le théorème chinois
• Confondre [formule] intègre et [formule] corps
• Appliquer le petit théorème de Fermat sans vérifier [formule]

Conseils du jury

• Le théorème chinois et ses applications sont des classiques incontournables
• Savoir montrer l'existence d'une racine primitive modulo [formule] est un développement apprécié
• Le jury attend une bonne maîtrise des calculs modulaires

Développements associés

• Théorème chinois des restes
• Algorithme RSA
• Loi de réciprocité quadratique
• Classification des groupes abéliens finis
• Codes cycliques
• Polynômes cyclotomiques
• Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
• Somme de deux carrés
• Algorithme d'Euclide étendu
• Existence et unicité des corps finis
• Entiers de Gauss

Prérequis

arithmetique z, anneaux corps