Leçon 102 — Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Points clés

Le groupe [formule] des complexes de module [formule]
- Définition : [formule], groupe multiplicatif
- Topologie de [formule] : compact connexe, homéomorphe au cercle [formule]
- L'exponentielle [formule] : morphisme surjectif de [formule] sur [formule] de noyau [formule]
Racines n-ièmes de l'unité
- Le groupe [formule] : groupe cyclique d'ordre [formule]
- Racines primitives : [formule] avec [formule]
- Nombre de racines primitives : [formule] (indicatrice d'Euler)
Polynômes cyclotomiques
- Définition : [formule]
- Propriété : [formule]
- Irréductibilité de [formule] sur [formule] (et donc sur [formule])
Sous-groupes de [formule]
- Tout sous-groupe fini de [formule] est cyclique (de la forme [formule])
- Les sous-groupes fermés de [formule] sont [formule] ou les [formule]
- Les sous-groupes denses : [formule] est dense si [formule]
Sommes de racines de l'unité et sommes de Gauss
- Somme des racines n-ièmes : [formule]
- Sommes de Gauss : [formule]
- Application : [formule] pour un caractère non trivial
Applications
- Construction des polygones réguliers à la règle et au compas (théorème de Gauss-Wantzel)
- Filtres de Fourier discret (DFT) et racines de l'unité
- Résolution de [formule] dans [formule]

Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique ; en particulier, [formule] est cyclique d'ordre [formule]
Irréductibilité des polynômes cyclotomiques : [formule] est irréductible sur [formule], de degré [formule]
Théorème de Gauss-Wantzel : le polygone régulier à [formule] côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si [formule] où les [formule] sont des premiers de Fermat distincts
Théorème de Kronecker : si [formule] est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module [formule], alors [formule] est une racine de l'unité

Le groupe [formule] : cyclique engendré par [formule]
[formule], [formule], [formule], [formule]
Le sous-groupe [formule] est dense dans [formule] car [formule]
Constructibilité de l'heptagone régulier : impossible car [formule] n'est pas un premier de Fermat

Confondre racine n-ième de l'unité et racine n-ième primitive : les racines primitives engendrent [formule]
Oublier que l'irréductibilité de [formule] est sur [formule] (pas nécessairement sur [formule])
Croire que tout sous-groupe de [formule] est fini (les sous-groupes denses ne le sont pas)

Savoir calculer les premiers polynômes cyclotomiques par la formule [formule]
L'irréductibilité de [formule] pour [formule] premier (via Eisenstein après le changement [formule]) est un développement classique
Le jury apprécie le lien entre racines de l'unité et transformée de Fourier discrète

reels complexes, polynomes