Leçon 102 — Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Points clés

• Structure de 𝕌
• Racines n-ièmes de l'unité
• Polynômes cyclotomiques
• Sous-groupes finis de 𝕌
• Applications géométriques

Plan

1. Le groupe [formule] des complexes de module [formule]
   • Définition : [formule], groupe multiplicatif
   • Topologie de [formule] : compact connexe, homéomorphe au cercle [formule]
   • L'exponentielle [formule] : morphisme surjectif de [formule] sur [formule] de noyau [formule]
2. Racines n-ièmes de l'unité
   • Le groupe [formule] : groupe cyclique d'ordre [formule]
   • Racines primitives : [formule] avec [formule]
   • Nombre de racines primitives : [formule] (indicatrice d'Euler)
3. Polynômes cyclotomiques
   • Définition : [formule]
   • Propriété : [formule]
   • Irréductibilité de [formule] sur [formule] (et donc sur [formule])
4. Sous-groupes de [formule]
   • Tout sous-groupe fini de [formule] est cyclique (de la forme [formule])
   • Les sous-groupes fermés de [formule] sont [formule] ou les [formule]
   • Les sous-groupes denses : [formule] est dense si [formule]
5. Sommes de racines de l'unité et sommes de Gauss
   • Somme des racines n-ièmes : [formule]
   • Sommes de Gauss : [formule]
   • Application : [formule] pour un caractère non trivial
6. Applications
   • Construction des polygones réguliers à la règle et au compas (théorème de Gauss-Wantzel)
   • Filtres de Fourier discret (DFT) et racines de l'unité
   • Résolution de [formule] dans [formule]

Théorèmes clés

• Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique ; en particulier, [formule] est cyclique d'ordre [formule]
• Irréductibilité des polynômes cyclotomiques : [formule] est irréductible sur [formule], de degré [formule]
• Théorème de Gauss-Wantzel : le polygone régulier à [formule] côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si [formule] où les [formule] sont des premiers de Fermat distincts
• Théorème de Kronecker : si [formule] est un entier algébrique dont tous les conjugués sont de module [formule], alors [formule] est une racine de l'unité

Exemples importants

• Le groupe [formule] : cyclique engendré par [formule]
• [formule], [formule], [formule], [formule]
• Le sous-groupe [formule] est dense dans [formule] car [formule]
• Constructibilité de l'heptagone régulier : impossible car [formule] n'est pas un premier de Fermat

Erreurs courantes

• Confondre racine n-ième de l'unité et racine n-ième primitive : les racines primitives engendrent [formule]
• Oublier que l'irréductibilité de [formule] est sur [formule] (pas nécessairement sur [formule])
• Croire que tout sous-groupe de [formule] est fini (les sous-groupes denses ne le sont pas)

Conseils du jury

• Savoir calculer les premiers polynômes cyclotomiques par la formule [formule]
• L'irréductibilité de [formule] pour [formule] premier (via Eisenstein après le changement [formule]) est un développement classique
• Le jury apprécie le lien entre racines de l'unité et transformée de Fourier discrète

Développements associés

• Polynômes cyclotomiques
• Polygones réguliers et Gauss
• Constructibilité des polygones réguliers
• Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
• Critère d'Eisenstein
• Existence et unicité des corps finis
• Infinitude des nombres premiers
• Similitudes du plan complexe

Prérequis

reels complexes, polynomes