Leçon 101 — Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Points clés
Définition d'une action de groupe
Orbites et stabilisateurs
Formule des classes
Équation aux classes
Applications : Burnside, dénombrement
Plan
Actions de groupe : définitions et premiers exemples
Définition d'une action de groupe sur un ensemble : morphisme [formule]
Actions à gauche et à droite, action fidèle, transitive
Exemples fondamentaux : translation, conjugaison, action sur les sous-groupes
Orbites et stabilisateurs
Orbite d'un élément [formule] : [formule]
Stabilisateur [formule] : sous-groupe de [formule]
Formule classe-stabilisateur : [formule]
Formule des classes et équation aux classes
Partition de [formule] en orbites : [formule]
Équation aux classes d'un groupe fini : [formule]
Application : le centre d'un p-groupe est non trivial
Théorèmes de Sylow
Existence des p-sous-groupes de Sylow
Conjugaison des p-Sylow et congruence [formule]
Applications à la classification de groupes d'ordre donné
Formule de Burnside
Nombre d'orbites : [formule]
Démonstration par double comptage
Application au dénombrement de colliers et de colorations
Applications
Dénombrement de colliers à [formule] perles de [formule] couleurs
Action de [formule] sur les polynômes : fonctions symétriques
Sous-groupes d'indice [formule] et morphismes vers [formule]
Théorèmes clés
Formule classe-stabilisateur : si [formule] agit sur [formule], pour tout [formule], [formule]
Équation aux classes : [formule] où la somme porte sur les classes de conjugaison non centrales
Théorèmes de Sylow : soit [formule] avec [formule]. (i) Il existe un sous-groupe d'ordre [formule]. (ii) Tous les p-Sylow sont conjugués. (iii) [formule] et [formule]
Formule de Burnside : le nombre d'orbites de [formule] agissant sur [formule] est [formule]
Exemples importants
Action de [formule] sur [formule] : transitive, le stabilisateur d'un point est isomorphe à [formule]
Action par conjugaison de [formule] sur [formule] : les orbites sont les classes de similitude
Dénombrement des colliers à [formule] perles de [formule] couleurs par Burnside : [formule] colliers distincts
Application de Sylow : tout groupe d'ordre [formule] est cyclique
Le centre d'un p-groupe non trivial est non trivial (conséquence de l'équation aux classes)
Erreurs courantes
Confondre orbite et stabilisateur, ou oublier que le stabilisateur est un sous-groupe (pas un sous-ensemble quelconque)
Appliquer la formule de Burnside en oubliant de diviser par [formule]
Ne pas vérifier les hypothèses des théorèmes de Sylow : [formule] doit être fini et la décomposition [formule] correcte
Conseils du jury
Les théorèmes de Sylow sont un développement classique : savoir les démontrer (au moins Sylow I) par action sur les sous-ensembles de cardinal [formule]
Avoir des exemples concrets de dénombrement par Burnside montre une bonne maîtrise de la leçon
Le jury apprécie que l'on illustre l'équation aux classes sur des groupes explicites ([formule], [formule], [formule])