Leçon 101 — Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

Points clés

• Définition d'une action de groupe
• Orbites et stabilisateurs
• Formule des classes
• Équation aux classes
• Applications : Burnside, dénombrement

Plan

1. Actions de groupe : définitions et premiers exemples
   • Définition d'une action de groupe sur un ensemble : morphisme [formule]
   • Actions à gauche et à droite, action fidèle, transitive
   • Exemples fondamentaux : translation, conjugaison, action sur les sous-groupes
2. Orbites et stabilisateurs
   • Orbite d'un élément [formule] : [formule]
   • Stabilisateur [formule] : sous-groupe de [formule]
   • Formule classe-stabilisateur : [formule]
3. Formule des classes et équation aux classes
   • Partition de [formule] en orbites : [formule]
   • Équation aux classes d'un groupe fini : [formule]
   • Application : le centre d'un p-groupe est non trivial
4. Théorèmes de Sylow
   • Existence des p-sous-groupes de Sylow
   • Conjugaison des p-Sylow et congruence [formule]
   • Applications à la classification de groupes d'ordre donné
5. Formule de Burnside
   • Nombre d'orbites : [formule]
   • Démonstration par double comptage
   • Application au dénombrement de colliers et de colorations
6. Applications
   • Dénombrement de colliers à [formule] perles de [formule] couleurs
   • Action de [formule] sur les polynômes : fonctions symétriques
   • Sous-groupes d'indice [formule] et morphismes vers [formule]

Théorèmes clés

• Formule classe-stabilisateur : si [formule] agit sur [formule], pour tout [formule], [formule]
• Équation aux classes : [formule] où la somme porte sur les classes de conjugaison non centrales
• Théorèmes de Sylow : soit [formule] avec [formule]. (i) Il existe un sous-groupe d'ordre [formule]. (ii) Tous les p-Sylow sont conjugués. (iii) [formule] et [formule]
• Formule de Burnside : le nombre d'orbites de [formule] agissant sur [formule] est [formule]

Exemples importants

• Action de [formule] sur [formule] : transitive, le stabilisateur d'un point est isomorphe à [formule]
• Action par conjugaison de [formule] sur [formule] : les orbites sont les classes de similitude
• Dénombrement des colliers à [formule] perles de [formule] couleurs par Burnside : [formule] colliers distincts
• Application de Sylow : tout groupe d'ordre [formule] est cyclique
• Le centre d'un p-groupe non trivial est non trivial (conséquence de l'équation aux classes)

Erreurs courantes

• Confondre orbite et stabilisateur, ou oublier que le stabilisateur est un sous-groupe (pas un sous-ensemble quelconque)
• Appliquer la formule de Burnside en oubliant de diviser par [formule]
• Ne pas vérifier les hypothèses des théorèmes de Sylow : [formule] doit être fini et la décomposition [formule] correcte

Conseils du jury

• Les théorèmes de Sylow sont un développement classique : savoir les démontrer (au moins Sylow I) par action sur les sous-ensembles de cardinal [formule]
• Avoir des exemples concrets de dénombrement par Burnside montre une bonne maîtrise de la leçon
• Le jury apprécie que l'on illustre l'équation aux classes sur des groupes explicites ([formule], [formule], [formule])

Développements associés

• Lemme de Burnside et applications
• Théorèmes de Sylow
• Équation aux classes
• Lemme de Burnside matriciel
• Centre d'un p-groupe
• Classification des groupes d'ordre pq
• Groupe des rotations de l'icosaèdre
• Sous-groupes finis de SO(3)

Prérequis

groupes structures, groupes finis