Si f : [a,b] → ℝ est continue et y est entre f(a) et f(b), alors ∃c ∈ [a,b] tel que f(c) = y.
On suppose f(a) < y < f(b) (l'autre cas est symétrique). Soit A = x ∈ [a,b] : f(x) ≤ y. A est non vide (a ∈ A) et majoré par b ; on pose c = sup A. Il existe une suite (xₙ) d'éléments de A avec xₙ → c ; par continuité, f(c) = lim f(xₙ) ≤ y. En particulier c < b, car f(b) > y. Si l'on avait f(c) < y, alors par continuité f resterait < y sur un voisinage [c, c+η], donc c+η/2 ∈ A, ce qui contredirait c = sup A. Donc f(c) = y.