Pour une surface compacte orientable [formule] sans bord, de courbure de Gauss [formule] : [formule] où [formule] est la caractéristique d'Euler.
Version locale : pour un triangle géodésique d'angles [formule], l'excès angulaire vaut [formule]. Trianguler [formule] en [formule] triangles géodésiques, avec [formule] sommets et [formule] arêtes. Sommer l'excès sur tous les triangles. Chaque arête intérieure est partagée par deux triangles : les contributions s'annulent. Autour de chaque sommet intérieur, la somme des angles vaut [formule]. La somme globale donne [formule] ; comme chaque triangle a 3 côtés et chaque arête est partagée par 2 triangles ([formule]), on obtient [formule].