Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée.
Préliminaire : [formule] admet des racines dans [formule] (théorème de d'Alembert-Gauss). On montre qu'elles sont réelles. Étape 1 : Valeurs propres réelles. Si [formule] dans [formule], alors [formule], donc [formule]. Étape 2 : Espaces propres orthogonaux. Si [formule], [formule] avec [formule], alors [formule], donc [formule]. Étape 3 : Récurrence sur [formule]. Soit [formule] valeur propre, [formule]. Alors [formule] est stable par [formule] (car [formule] symétrique). Appliquer l'hypothèse de récurrence à [formule].