Soient [formule] compact convexe et [formule] fermé convexe de [formule] avec [formule]. Alors il existe un hyperplan les séparant strictement.
La distance [formule] est atteinte (compacité de [formule], fermeture de [formule]) en [formule]. [formule] car [formule]. L'hyperplan médiateur [formule] sépare [formule] et [formule]. Pour [formule] : par optimalité de [formule], [formule], d'où [formule]. Raisonnement analogue pour [formule], ce qui garantit la séparation stricte.