Théorème du point fixe de Banach

Énoncé

Soit (E,d) complet, f : E → E contractante avec d(f(x),f(y)) ≤ k·d(x,y) et k < 1. Alors f a un unique point fixe.

Preuve

Unicité : f(x)=x, f(y)=y ⟹ d(x,y) = d(f(x),f(y)) ≤ k·d(x,y) ⟹ d(x,y) = 0. Existence : x₀ ∈ E, xₙ₊₁ = f(xₙ). d(xₙ₊₁,xₙ) ≤ kⁿ·d(x₁,x₀). (xₙ) Cauchy, donc xₙ → ℓ par complétude. f(ℓ) = ℓ par continuité.