Si [formule] est [formule] et [formule] est inversible, alors [formule] est un difféomorphisme local au voisinage de [formule].
Quitte à composer, on se ramène à [formule] et [formule]. Poser [formule]. Alors [formule], donc [formule] au voisinage de [formule]. L'application [formule] est contractante pour [formule] assez petit. Par Banach, [formule] a un unique point fixe [formule] : [formule]. Régularité de [formule] : par le théorème des fonctions implicites ou par calcul direct.