Toute conique non dégénérée admet, dans un repère orthonormé bien choisi, une équation réduite : [formule] (ellipse), [formule] (hyperbole) ou [formule] (parabole).
L'équation générale [formule] fait intervenir la matrice [formule]. Par le théorème spectral, [formule] est diagonalisable en base orthonormée : une rotation élimine le terme [formule]. Après rotation : [formule]. Translation (complétion du carré) pour éliminer les termes linéaires. Classification selon les valeurs propres : [formule] de même signe (ellipse), de signes opposés (hyperbole), l'une nulle (parabole).