Théorème de convergence dominée

Énoncé

Si fₙ → f p.p. et |fₙ| ≤ g intégrable, alors ∫fₙ → ∫f.

Preuve

Fatou sur g + fₙ ≥ 0 : ∫(g+f) ≤ lim inf ∫(g+fₙ). Donc ∫f ≤ lim inf ∫fₙ. Fatou sur g - fₙ ≥ 0 : ∫(g-f) ≤ lim inf ∫(g-fₙ). Donc ∫f ≥ lim sup ∫fₙ. Conclusion : lim ∫fₙ = ∫f.