Toute suite bornée de réels admet une sous-suite convergente.
Soit (xₙ) bornée dans [a,b]. Dichotomie : l'un des intervalles [a,(a+b)/2] ou [(a+b)/2,b] contient ∞ termes. On construit des intervalles emboîtés [aₙ,bₙ] avec bₙ - aₙ = (b-a)/2ⁿ. L'intersection contient un unique ℓ, vers lequel converge une sous-suite.