Si pgcd(a,b) = d, alors ∃u,v ∈ ℤ tels que au + bv = d.
Soit I = ax + by : x,y ∈ ℤ. C'est un idéal de ℤ. Comme ℤ est principal, I = d'ℤ pour un certain d' > 0. On a d' | a et d' | b donc d' | d. Inversement, d | d' car d' ∈ I. Donc d = d'.