Soit [formule] compact métrique. [formule] est relativement compact pour [formule] ssi [formule] est borné et équicontinu.
([formule]) Relativement compact [formule] totalement borné [formule] borné. Équicontinuité par extraction de sous-suite finie. ([formule]) Soit [formule] une suite de [formule]. Extraire une sous-suite convergeant sur un sous-ensemble dénombrable dense [formule] (Bolzano-Weierstrass diagonal). L'équicontinuité + convergence sur [formule] donne la convergence uniforme sur [formule].