Quiz — Series numeriques

Question 1

Qu'est-ce que la convergence d'une série [formule] ?

Accepted Answer

Une série converge si la suite des sommes partielles converge.

Question 2

[formule] suffit-il pour que [formule] converge ?

Accepted Answer

Non ! [formule] mais [formule] diverge (série harmonique).

Question 3

La série de Riemann [formule] converge ssi...

Accepted Answer

[formule] converge [formule] .

Question 4

Une série absolument convergente est-elle convergente ?

Accepted Answer

Absolument convergente [formule] convergente. La réciproque est fausse.

Question 5

Que vaut [formule] ?

Accepted Answer

Série géométrique : [formule] pour [formule]. Ici [formule].

Question 6

Soit [formule] une suite décroissante de réels positifs tendant vers [formule], et [formule] le reste de la série alternée. Quelle majoration du reste le critère de Leibniz fournit-il ?

Accepted Answer

Les sommes partielles d'une série alternée sous les hypothèses de Leibniz s'emboîtent : [formule] et [formule] sont adjacentes, donc la somme [formule] est toujours comprise entre deux sommes partielles consécutives. Le reste [formule] est ainsi majoré en valeur absolue par le premier terme négligé, [formule], et il a le signe de [formule]. C'est cette estimation qui rend le critère utile numériquement : pour [formule], [formule] termes donnent une erreur inférieure à [formule].