Quiz — Reduction endomorphismes

Question 1

Qu'est-ce qu'une valeur propre de [formule] ?

Accepted Answer

[formule] est valeur propre ssi il existe [formule] tel que [formule].

Question 2

Diagonalisable implique-t-il que le polynôme caractéristique est scindé ?

Accepted Answer

Si [formule] est diagonalisable, [formule] est scindé. La réciproque nécessite [formule] pour chaque valeur propre.

Question 3

Le polynôme minimal divise-t-il le polynôme caractéristique ?

Accepted Answer

Cayley-Hamilton implique [formule], et ils ont les mêmes racines (valeurs propres).

Question 4

Une matrice nilpotente est-elle diagonalisable ?

Accepted Answer

Nilpotente [formule] seule valeur propre 0. Diagonalisable ssi [formule].

Question 5

Si [formule], quelle est la trace de [formule] ?

Accepted Answer

La trace est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité : [formule].

Question 6

Soient [formule] et [formule] deux endomorphismes diagonalisables de [formule], de dimension finie. À quelle condition existe-t-il une base de [formule] formée de vecteurs propres communs à [formule] et [formule] ?

Accepted Answer

Deux endomorphismes diagonalisables sont co-diagonalisables si et seulement s'ils commutent. Le sens direct est immédiat : dans une base commune de vecteurs propres, les deux matrices sont diagonales, donc commutent. Réciproquement, si [formule], chaque sous-espace propre [formule] est stable par [formule], et [formule] y induit un endomorphisme encore diagonalisable : on diagonalise [formule] dans chaque [formule] et l'on recolle les bases obtenues.