Quiz — Isometries affines

Question 1

Un déplacement en dimension 2 est...

Accepted Answer

Déplacement plan : rotation (si point fixe) ou translation (sinon).

Question 2

Un antidéplacement du plan sans point fixe est...

Accepted Answer

Antidéplacement sans point fixe = symétrie glissée (réflexion + translation parallèle à l'axe).

Question 3

Le groupe des isométries du plan est...

Accepted Answer

Groupe des isométries = produit semi-direct du groupe orthogonal et des translations.

Question 4

Une isométrie directe en dimension 3 est...

Accepted Answer

Isométrie directe 3D sans point fixe = vissage. Avec point fixe = rotation.

Question 5

Le groupe des rotations de l'espace est...

Accepted Answer

[formule] = rotations de l'espace (isométries directes fixant l'origine).

Question 6

Soit [formule] une isométrie d'un espace affine euclidien [formule] de direction [formule], et [formule] sa partie linéaire, définie par [formule]. Que peut-on dire de [formule] ?

Accepted Answer

Une isométrie affine conserve les distances : [formule]. Comme [formule], la partie linéaire conserve la norme, donc le produit scalaire (identité de polarisation) : [formule]. Réciproquement, toute application affine de partie linéaire orthogonale est une isométrie. Le déterminant de [formule] vaut alors [formule] : [formule] pour les déplacements, [formule] pour les antidéplacements, qui sont des isométries au même titre.