Quiz — Groupes finis

Question 1

Que dit le théorème de Lagrange ?

Accepted Answer

Théorème de Lagrange : si [formule] est un sous-groupe de [formule] fini, alors [formule] divise [formule].

Question 2

Si [formule], existe-t-il forcément un élément d'ordre 6 ?

Accepted Answer

Non : [formule] est d'ordre 12 sans élément d'ordre 6. Lagrange ne garantit pas l'existence d'éléments de chaque diviseur, et Cauchy ne s'applique qu'aux diviseurs premiers.

Question 3

Qu'affirment les théorèmes de Sylow sur les p-sous-groupes ?

Accepted Answer

Sylow garantit l'existence de p-Sylow et affirme qu'ils sont tous conjugués.

Question 4

Un groupe d'ordre [formule] (p premier) est-il toujours abélien ?

Accepted Answer

Tout groupe d'ordre [formule] est abélien, isomorphe à [formule] ou [formule].

Question 5

Combien y a-t-il de groupes d'ordre 6 à isomorphisme près ?

Accepted Answer

[formule] (cyclique) et [formule] (symétrique). Deux groupes distincts.